微分法の問題

増減を調べる

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{2ax}{1+x^2}=\frac{x^2-2ax+1}{1+x^2}$$
である。$1+x^2>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $x^2-2ax+1$ の符号と一致する。

$x^2-2ax+1=0$ の判別式は $4(a^2-1)>0$（$a>1$ より）なので、この方程式は異なる 2 つの実数解
$$\alpha =a-\sqrt{a^2-1},\beta =a+\sqrt{a^2-1}$$
をもつ。解と係数の関係より $\alpha \beta =1$、$\alpha +\beta =2a$ である。また $\alpha \beta =1$、$\alpha >0$、$\alpha <\beta$ より $0<\alpha <1<\beta$ である。

$f^{\prime }(x)$ は $x<\alpha$ で正、$\alpha <x<\beta$ で負、$x>\beta$ で正である。よって $f(x)$ は $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小となる。

極大値と極小値の差を計算する

$$f(\alpha )-f(\beta )=(\alpha -\beta )-a\{\log (1+{\alpha }^2)-\log (1+{\beta }^2)\}$$
である。$\alpha ,\beta$ は $x^2+1=2ax$ を満たすので、$1+{\alpha }^2=2a\alpha$、$1+{\beta }^2=2a\beta$ が成り立つ。よって
$$\log (1+{\alpha }^2)-\log (1+{\beta }^2)=\log \frac{2a\alpha }{2a\beta }=\log \frac{\alpha }{\beta }$$
となる。ここで $\beta =s$ とおくと $s>1$ であり、$\alpha =\frac{1}{s}$、$2a=\alpha +\beta =s+\frac{1}{s}$ である。$\log \frac{\alpha }{\beta }=\log \frac{1}{s^2}=-2\log s$ なので
$$f(\alpha )-f(\beta )=\left(\frac{1}{s}-s\right)+2a\log s=\frac{1}{s}-s+\left(s+\frac{1}{s}\right)\log s$$
となる。これを $g(s)(s>1)$ とおく。

$g(s)$ の単調性を調べる

$$g^{\prime }(s)=-\frac{1}{s^2}-1+\left(1-\frac{1}{s^2}\right)\log s+\left(s+\frac{1}{s}\right)\cdot \frac{1}{s}$$
である。最後の項は $1+\frac{1}{s^2}$ なので、
$$g^{\prime }(s)=\left(1-\frac{1}{s^2}\right)\log s$$
となる。$s>1$ では $1-\frac{1}{s^2}>0$、$\log s>0$ なので $g^{\prime }(s)>0$ であり、$g(s)$ は $s>1$ で単調に増加する。

また、$\beta =a+\sqrt{a^2-1}$ は $a>1$ で単調に増加する。$a\to 1$ のとき $\beta \to 1$、$a\to \infty$ のとき $\beta \to \infty$ なので、$a$ と $s(>1)$ は 1 対 1 に対応する。

条件を満たす $s$ を求める

$$g(e)=\frac{1}{e}-e+\left(e+\frac{1}{e}\right)\cdot 1=\frac{2}{e}$$
である。$g$ は単調増加なので、$g(s)=\frac{2}{e}$ を満たす $s$ は $s=e$ のみである。

したがって
$$a=\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=\frac{e^2+1}{2e}$$
である。

$f^{\prime }(x)=1-\frac{2ax}{1+x^2}=\frac{x^2-2ax+1}{1+x^2}$。$f^{\prime }(x)=0$ の解は $x=a\pm \sqrt{a^2-1}$ で、これを $\alpha >\beta$ とおく。$\alpha \beta =1$、$\alpha +\beta =2a$、$\beta >0$ である。$f^{\prime }$ の符号は $+,-,+$ と変わるので、極大は $x=\beta$、極小は $x=\alpha$ でとる。

極値をとる点では $x^2+1=2ax$ が成り立つので、$\log (1+{\beta }^2)-\log (1+{\alpha }^2)=\log (\beta /\alpha )=\log {\beta }^2=-2\log \alpha$。

よって極大値から極小値を引いた差は
$f(\beta )-f(\alpha )=-(\alpha -\beta )+2a\log \alpha$。

$a=\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ $(t>0)$ とおくと、$\alpha =e^t$、$\alpha -\beta =2\sinh t$ なので、差は $2t\cosh t-2\sinh t$。

これが $\frac{2}{e}$ に等しいので $g(t)=t\cosh t-\sinh t=\frac{1}{e}$ を解く。
$g^{\prime }(t)=t\sinh t>0$ $(t>0)$ なので $g$ は単調増加であり、解は高々 $1$ つ。
$t=1$ のとき $g(1)=\cosh 1-\sinh 1=e^{-1}$ となり、これは解である。

ゆえに $a=\cosh 1=\frac{e+e^{-1}}{2}=\frac{e^2+1}{2e}$。

検算: $a=\cosh 1$ のとき $\alpha =e$、$\beta =1/e$。差は $2a\cdot 1-(e-1/e)=(e+1/e)-(e-1/e)=2/e$ となり、条件を満たす。