微分法の問題

ステップ1：$f^{\prime }(x)$ を求める

すべての実数 $x$ について $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\ge -x$ なので、$x+\sqrt{x^2+1}>0$ である。よって $f(x)$ はすべての実数で定義される。

合成関数の微分法より
$$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
となる。

ステップ2：$f^{\prime }$ と $f^{\prime \prime }$ の関係式を作る

$f^{\prime }(x)=(x^2+1{)}^{-\frac{1}{2}}$ を微分すると
$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$$
である。両辺に $x^2+1$ を掛けると $(x^2+1)f^{\prime \prime }(x)=-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-x{f}^{\prime }(x)$ となる。したがって、すべての実数 $x$ で
$$(x^2+1)f^{\prime \prime }(x)+x{f}^{\prime }(x)=0(1)$$
が成り立つ。

ステップ3：$(1)$ をくり返し微分する

積の微分法を用いて、$(1)$ の両辺を $x$ で微分する。

$(1)$ を微分すると $2x{f}^{\prime \prime }+(x^2+1)f^{\prime \prime \prime }+f^{\prime }+x{f}^{\prime \prime }=0$ となり、整理して
$$(x^2+1)f^{\prime \prime \prime }+3x{f}^{\prime \prime }+f^{\prime }=0(2)$$

$(2)$ を微分すると $2x{f}^{\prime \prime \prime }+(x^2+1)f^{(4)}+3f^{\prime \prime }+3x{f}^{\prime \prime \prime }+f^{\prime \prime }=0$ となり
$$(x^2+1)f^{(4)}+5x{f}^{\prime \prime \prime }+4f^{\prime \prime }=0(3)$$

$(3)$ を微分すると $2x{f}^{(4)}+(x^2+1)f^{(5)}+5f^{\prime \prime \prime }+5x{f}^{(4)}+4f^{\prime \prime \prime }=0$ となり
$$(x^2+1)f^{(5)}+7x{f}^{(4)}+9f^{\prime \prime \prime }=0(4)$$

$(4)$ を微分すると $2x{f}^{(5)}+(x^2+1)f^{(6)}+7f^{(4)}+7x{f}^{(5)}+9f^{(4)}=0$ となり
$$(x^2+1)f^{(6)}+9x{f}^{(5)}+16f^{(4)}=0(5)$$

$(5)$ を微分すると $2x{f}^{(6)}+(x^2+1)f^{(7)}+9f^{(5)}+9x{f}^{(6)}+16f^{(5)}=0$ となり
$$(x^2+1)f^{(7)}+11x{f}^{(6)}+25f^{(5)}=0(6)$$

ステップ4：$x=0$ を代入する

$f^{\prime }(0)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$ である。

• $(2)$ に $x=0$ を代入すると $f^{\prime \prime \prime }(0)+f^{\prime }(0)=0$ なので、$f^{\prime \prime \prime }(0)=-1$
• $(4)$ に $x=0$ を代入すると $f^{(5)}(0)+9f^{\prime \prime \prime }(0)=0$ なので、$f^{(5)}(0)=9$
• $(6)$ に $x=0$ を代入すると $f^{(7)}(0)+25f^{(5)}(0)=0$ なので、$f^{(7)}(0)=-225$

よって
$$f^{(7)}(0)=-225$$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=(1+x^2{)}^{-1/2}$ である。二項展開すると $(1+x^2{)}^{-1/2}={\sum }_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{k})x^{2k}$ となる。$x^6$ の係数は $k=3$ のときで、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{3}\right)=\frac{(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{3!}=-\frac{15/8}{6}=-\frac{5}{16}$ である。一方、$f^{\prime }(x)$ のマクローリン展開における $x^6$ の係数は $\frac{f^{(7)}(0)}{6!}$ だから、$f^{(7)}(0)=720\cdot \left(-\frac{5}{16}\right)=-225$ となる。検算として、$\mathrm{arcsinh}x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}-\frac{15x^7}{336}+\cdots$ の $x^7$ の係数は $-\frac{5}{112}$ で、$7!\cdot (-\frac{5}{112})=5040\cdot (-\frac{5}{112})=-225$ となり一致する。