微分法の問題

$f^{\prime }(x)$ と $f^{\prime \prime }(x)$ の計算

合成関数の微分法より $\{\log (1+x^2){\}}^{\prime }=\frac{2x}{1+x^2}$ であるから、
$$f^{\prime }(x)=1+\frac{2x}{1+x^2}=\frac{x^2+2x+1}{1+x^2}=\frac{(x+1{)}^2}{1+x^2}.$$
$f^{\prime }(x)\ge 0$ であり、等号は $x=-1$ のときだけ成り立つ。よって $f(x)$ は単調に増加し、逆関数 $g(x)$ をもつ。

商の微分法より、
$${\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}^{\prime }=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}$$
であるから、
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}.$$

$g^{\prime \prime }$ を $f^{\prime }$ と $f^{\prime \prime }$ で表す

$g$ は $f$ の逆関数なので $g(f(x))=x$ が成り立つ。$f^{\prime }(x)\ne 0$ となる $x$ の近くで両辺を $x$ で微分すると
$$g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)=1(1)$$
となる。$(1)$ の両辺をさらに $x$ で微分すると、積の微分法と合成関数の微分法より
$$g^{\prime \prime }(f(x))\{f^{\prime }(x){\}}^2+g^{\prime }(f(x))f^{\prime \prime }(x)=0.$$
$(1)$ から $g^{\prime }(f(x))=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ なので、これを代入して整理すると
$$g^{\prime \prime }(f(x))=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{\{f^{\prime }(x){\}}^3}(2)$$
を得る。

値の計算

$f(2)=2+\log 5$ であり、$f$ は単調増加なので、$f(x)=2+\log 5$ を満たす $x$ は $x=2$ だけである。
$$f^{\prime }(2)=\frac{9}{5}(\ne 0),f^{\prime \prime }(2)=\frac{2(1-4)}{25}=-\frac{6}{25}.$$
これらを $(2)$ に代入すると
$$g^{\prime \prime }(2+\log 5)=-\frac{-\frac{6}{25}}{{\left(\frac{9}{5}\right)}^3}=\frac{6}{25}\cdot \frac{125}{729}=\frac{30}{729}=\frac{10}{243}.$$

したがって、求める値は $\frac{10}{243}$ である。

$f(2)=2+\log 5$ なので $g(2+\log 5)=2$。$y=f(x)$ のとき $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ であり、さらに微分して $g^{\prime \prime }(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f^{\prime }(x)}\right)\cdot \frac{1}{f^{\prime }(x)}=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{\{f^{\prime }(x){\}}^3}$。
$f^{\prime }(x)=1+\frac{2x}{1+x^2}=\frac{(x+1{)}^2}{1+x^2}$、$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}$。
$x=2$ で $f^{\prime }(2)=\frac{9}{5}$、$f^{\prime \prime }(2)=\frac{-6}{25}$。
よって $g^{\prime \prime }(2+\log 5)=\frac{6/25}{729/125}=\frac{6}{25}\cdot \frac{125}{729}=\frac{30}{729}=\frac{10}{243}$。
検算：$f^{\prime \prime }(2)=2(1-4)/25=-6/25$、$(9/5{)}^3=729/125$ を確認した。