微分法の問題

$f$ の導関数
$f(x)=x^x=e^{x\log x}$ である（$\log$ は自然対数）。$u(x)=\log x+1$ とおくと、合成関数の微分法より
$$f^{\prime }(x)=e^{x\log x}\cdot (\log x+1)=f(x)u(x)$$
である。$x>\frac{1}{e}$ では $\log x>-1$ より $u(x)>0$ なので $f^{\prime }(x)>0$ となり、$f$ は単調増加である。

$u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ に注意して積の微分法を用いると
$$f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)u(x)+f(x)u^{\prime }(x)=f(x)u(x{)}^2+\frac{f(x)}{x}=f(x)\left\{u(x{)}^2+\frac{1}{x}\right\}$$
$$f^{\prime \prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)\left\{u^2+\frac{1}{x}\right\}+f(x)\left\{2u{u}^{\prime }-\frac{1}{x^2}\right\}=f(x)\left\{u^3+\frac{u}{x}+\frac{2u}{x}-\frac{1}{x^2}\right\}=f(x)\left\{u^3+\frac{3u}{x}-\frac{1}{x^2}\right\}$$
$x=1$ では $f(1)=1$, $u(1)=1$ なので
$$f^{\prime }(1)=1,f^{\prime \prime }(1)=1\cdot (1+1)=2,f^{\prime \prime \prime }(1)=1\cdot (1+3-1)=3$$

逆関数の導関数
$f(1)=1$ より $g(1)=1$ である。$f(g(x))=x$ の両辺を $x$ で微分すると $f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1$ より
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}$$
さらに合成関数の微分法を用いると
$$g^{\prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime }(g(x))g^{\prime }(x)}{\{f^{\prime }(g(x)){\}}^2}=-\frac{f^{\prime \prime }(g(x))}{\{f^{\prime }(g(x)){\}}^3}$$
もう一度微分する。$y=g(x)$ と書き、商の微分法を用いると
$$g^{\prime \prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime \prime }(y)g^{\prime }(x)\cdot \{f^{\prime }(y){\}}^3-f^{\prime \prime }(y)\cdot 3\{f^{\prime }(y){\}}^2{f}^{\prime \prime }(y)g^{\prime }(x)}{\{f^{\prime }(y){\}}^6}$$
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$ を代入して整理すると
$$g^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{3\{f^{\prime \prime }(y){\}}^2-f^{\prime \prime \prime }(y)f^{\prime }(y)}{\{f^{\prime }(y){\}}^5}$$
となる。$x=1$ のとき $y=g(1)=1$ なので
$$g^{\prime \prime \prime }(1)=\frac{3\cdot 2^2-3\cdot 1}{1^5}=12-3=9$$

（確認）$g^{\prime }(1)=1$, $g^{\prime \prime }(1)=-\frac{2}{1^3}=-2$ である。

$f(1)=1$ より $g(1)=1$。$y=g^{-1}$ の関係 $y=x^x$ の対数をとると $\log y=x\log x$。$h(x)=x\log x$ とおき、その逆関数を $H$ とすると $g(y)=H(\log y)$。\n\n$h^{\prime }(x)=\log x+1$、$h^{\prime \prime }(x)=1/x$、$h^{\prime \prime \prime }(x)=-1/x^2$ なので $x=1$ で $h^{\prime }=1,h^{\prime \prime }=1,h^{\prime \prime \prime }=-1$。また $u=h(x)$ で $u=0⟺x=1$。\n逆関数の微分公式より、$H^{\prime }=1/h^{\prime }$、$H^{\prime \prime }=-h^{\prime \prime }/h^{\prime 3}$、$H^{\prime \prime \prime }=(3h^{\prime \prime 2}-h^{\prime }{h}^{\prime \prime \prime })/h^{\prime 5}$。$u=0$ で $H^{\prime }=1,H^{\prime \prime }=-1,H^{\prime \prime \prime }=3+1=4$。\n\n$g(y)=H(\log y)$ を微分する。$g^{\prime }=H^{\prime }/y$。$g^{\prime \prime }=(H^{\prime \prime }-H^{\prime })/y^2$。$g^{\prime \prime \prime }=(H^{\prime \prime \prime }-3H^{\prime \prime }+2H^{\prime })/y^3$。（$g^{\prime \prime }$ を微分すると $\frac{(H^{\prime \prime \prime }-H^{\prime \prime })/y}{y^2}-\frac{2(H^{\prime \prime }-H^{\prime })}{y^3}$。）\n\n$y=1$（$u=0$）で $g^{\prime \prime \prime }(1)=4-3(-1)+2(1)=4+3+2=9$。\n\n検算: $x=1+s$ とすると $h=s+\frac{s^2}{2}-\frac{s^3}{6}+\cdots =u$ を逆に解いて $s=u-\frac{u^2}{2}+\frac{2}{3}{u}^3+\cdots$。$H^{\prime \prime \prime }(0)=6\cdot \frac{2}{3}=4$、$H^{\prime \prime }(0)=-1$ で一致。