微分法の問題

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ とおくと $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}$ である。

接線の方程式 $C$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線は
$$y=-\frac{2t}{(1+t^2{)}^2}(x-t)+\frac{1}{1+t^2}$$
である。これが点 $\mathrm{A}(0,b)$ を通る条件は、$x=0$ を代入して
$$b=\frac{2t^2}{(1+t^2{)}^2}+\frac{1}{1+t^2}=\frac{3t^2+1}{(1+t^2{)}^2}(1)$$
である。

異なる接点は異なる接線を与えること 直線 $y=mx+c$ が点 $x=t$ で $C$ に接することは、$f(t)=mt+c$ かつ $f^{\prime }(t)=m$ が成り立つことである。$g(x)=(mx+c)(1+x^2)-1$ とおくと $g^{\prime }(x)=m(1+x^2)+2x(mx+c)$ である。$f(t)=mt+c$ すなわち $mt+c=\frac{1}{1+t^2}$ のもとで
$$g^{\prime }(t)=m(1+t^2)+\frac{2t}{1+t^2}$$
となる。よって $g^{\prime }(t)=0⟺m=-\frac{2t}{(1+t^2{)}^2}=f^{\prime }(t)$ である。したがって、直線が $x=t$ で $C$ に接することは、$x=t$ が $g(x)=0$ の重解であることと同値である。
- $m\ne 0$ のとき、$g(x)$ は $3$ 次式である。$3$ 次方程式が異なる $2$ つの重解をもつことはない（重解 $2$ つで次数が $4$ 以上必要になる）。
- $m=0$ のとき、$g(x)=c{x}^2+c-1$ である。これが重解をもつのは $c=1$ のときで、重解は $x=0$ だけである。

よって、$1$ 本の直線が $C$ に $2$ 点以上で接することはない。ゆえに、接線の本数は $(1)$ を満たす実数 $t$ の個数に等しい。

$t$ の個数を調べる $u=t^2(u\ge 0)$ とおき、$h(u)=\frac{3u+1}{(1+u{)}^2}$ とする。
$$h^{\prime }(u)=\frac{3(1+u{)}^2-2(1+u)(3u+1)}{(1+u{)}^4}=\frac{3(1+u)-2(3u+1)}{(1+u{)}^3}=\frac{1-3u}{(1+u{)}^3}$$
よって $h(u)$ は $0\le u\le \frac{1}{3}$ で増加し、$u\ge \frac{1}{3}$ で減少する。値は次のとおりである。
- $h(0)=1$
- $h\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}=\frac{9}{8}$
- $\underset{u\to \infty }{\lim }h(u)=0$ であり、$h(u)>0$

$u>0$ である $1$ つの解からは $t=\pm \sqrt{u}$ の $2$ 個が、$u=0$ からは $t=0$ の $1$ 個が得られる。
- $b\le 0$ または $b>\frac{9}{8}$ のとき、解 $u$ はない。接線は $0$ 本である。
- $0<b<1$ のとき、解 $u$ は $u>\frac{1}{3}$ に $1$ 個だけある。接線は $2$ 本である。
- $b=1$ のとき、$u=0$ と $u>\frac{1}{3}$ の $1$ 個がある。接線は $3$ 本である。
- $1<b<\frac{9}{8}$ のとき、$0<u<\frac{1}{3}$ と $u>\frac{1}{3}$ にそれぞれ $1$ 個ずつある。$t$ は $4$ 個となり、接線は $4$ 本である。
- $b=\frac{9}{8}$ のとき、$u=\frac{1}{3}$ だけである。接線は $2$ 本である。

以上より、求める範囲は $1<b<\frac{9}{8}$ である。

接点を $(t,f(t))$ とおく。$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ より $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}$。接線は $y=f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)$ である。

これが $(0,b)$ を通る条件は
$b=f(t)-t{f}^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t^2}+\frac{2t^2}{(1+t^2{)}^2}=\frac{1+3t^2}{(1+t^2{)}^2}$。

$u=t^2\ge 0$ とおき $g(u)=\frac{1+3u}{(1+u{)}^2}$ とする。
$g^{\prime }(u)=\frac{3(1+u)-2(1+3u)}{(1+u{)}^3}=\frac{1-3u}{(1+u{)}^3}$。
よって $g$ は $0\le u\le \frac{1}{3}$ で増加し、$u\ge \frac{1}{3}$ で減少する。
$g(0)=1$、$g(1/3)=\frac{2}{16/9}=\frac{9}{8}$、$u\to \infty$ で $g\to 0$ である。

$u>0$ の解 1 つにつき $t=\pm \sqrt{u}$ の 2 個が対応し、$u=0$ なら $t=0$ の 1 個である。接線が 4 本になるのは、$g(u)=b$ が異なる正の解を 2 つもつときである。それは $1<b<\frac{9}{8}$ のときである。

検算:
- $b=1$ のとき、$u=0$ と $u=1$ が解で、$t=0,\pm 1$ の 3 本になる。
- $b=\frac{9}{8}$ のとき、$u=\frac{1}{3}$ のみで 2 本になる。
- $b=1.08$ のとき、$u=\frac{1}{9}$ と $u>\frac{1}{3}$ の解が 1 つあり、合わせて 4 本になる。

異なる $t$ が同一の接線を与える可能性（2 重接線）は、$t_1{t}_2=\frac{1}{3}$ などの条件を試した範囲では見つからなかった。ここでは起こらないものとして扱った。

答え: $1<b<\frac{9}{8}$