微分法の問題

平均値の定理：関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続、区間 $(a,b)$ で微分可能ならば
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c),a<c<b$$
を満たす実数 $c$ が存在する。

$f(x)=x^3$ は多項式なので、すべての実数で連続かつ微分可能である。したがって、区間 $[0,3]$ で平均値の定理が使える。

手順1：左辺（平均変化率）を計算する。
$$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9$$

手順2：右辺 $f^{\prime }(c)$ を求める。
$f^{\prime }(x)=3x^2$ より $f^{\prime }(c)=3c^2$ である。

手順3：方程式を解く。
$$3c^2=9\text{より}{c}^2=3\text{よって}c=\pm \sqrt{3}$$

手順4：条件 $0<c<3$ で絞り込む。
$\sqrt{3}\approx 1.73$ であり $0<\sqrt{3}<3$ を満たす。一方、$-\sqrt{3}<0$ なので条件を満たさない。

よって $c=\sqrt{3}$ である。

$f(x)=x^3$ より $f^{\prime }(x)=3x^2$。左辺は $\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9$。したがって $3c^2=9$、すなわち $c^2=3$。$0<c<3$ より $c=\sqrt{3}$。検算：$\sqrt{3}\approx 1.732$ は $0<c<3$ を満たし、$f^{\prime }(\sqrt{3})=3\cdot 3=9$ で左辺と一致する。