微分法の問題

平均値の定理は、次のことを主張します。関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能ならば、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c),a<c<b$$
を満たす $c$ が存在します。

手順1：定理が使えることの確認
$f(x)=x^3-2x$ は多項式なので、すべての実数で連続かつ微分可能です。よって区間 $[0,3]$ で平均値の定理が使えます。

手順2：平均変化率を計算する
$$f(3)=27-6=21,f(0)=0$$
なので
$$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{21}{3}=7$$

手順3：導関数を求めて等式を立てる
$$f^{\prime }(x)=3x^2-2$$
より、$f^{\prime }(c)=7$ とすると
$$3c^2-2=7$$
$$c^2=3$$
$$c=\pm \sqrt{3}$$

手順4：範囲 $0<c<3$ を確認する
$\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73$ なので $0<\sqrt{3}<3$ を満たします。一方 $-\sqrt{3}<0$ なので不適です。

したがって $c=\sqrt{3}$ です。

$f(3)=27-6=21$、$f(0)=0$ なので $\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{21}{3}=7$。
$f^{\prime }(x)=3x^2-2$ より $f^{\prime }(c)=3c^2-2=7$ なので $c^2=3$、すなわち $c=\pm \sqrt{3}$。
$0<c<3$ より $c=\sqrt{3}$。
検算：$\sqrt{3}\approx 1.732$ は $0<c<3$ を満たす。$f^{\prime }(\sqrt{3})=3\cdot 3-2=7$ となり、平均変化率と一致する。