特殊関数・漸近解析の問題

パラメータ微分を使う。

手順 1: パラメータを含む積分を用意する

$$F(s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{1+x^4}dx=\frac{\pi }{4\sin \frac{\pi s}{4}}(0<s<4)$$
とおく。

手順 2: $s$ で微分する

$\frac{\partial }{\partial s}{x}^{s-1}=x^{s-1}\log x$ である。$s$ が $0<s<4$ の閉区間 $[s_1,s_2]$ を動くとき、$|x^{s-1}\log x|/(1+x^4)$ は $0<x\le 1$ で $x^{s_1-1}|\log x|$、$x\ge 1$ で $x^{s_2-5}\log x$ でおさえられ、これらは可積分なので、積分記号下で微分できる。よって
$$F^{\prime }(s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}\log x}{1+x^4}dx.$$
$s=1$ とすると $x^0=1$ なので $I=F^{\prime }(1)$ となる。

手順 3: 右辺を微分して $s=1$ を代入する

$$F^{\prime }(s)=\frac{\pi }{4}\cdot \left(-\frac{\frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi s}{4}}{{\sin }^2\frac{\pi s}{4}}\right)=-\frac{{\pi }^2}{16}\cdot \frac{\cos \frac{\pi s}{4}}{{\sin }^2\frac{\pi s}{4}}.$$
$s=1$ では $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\sin }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$ だから
$$I=F^{\prime }(1)=-\frac{{\pi }^2}{16}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=-\frac{\sqrt{2}{\pi }^2}{16}.$$

（確認: $x\to \frac{1}{x}$ と置換すると $I={\int }_0^1\frac{(1-x^2)\log x}{1+x^4}dx$ となり、被積分関数は $0<x<1$ で負なので $I<0$ と合っている。）

$F(s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{1+x^4}dx=\frac{\pi }{4\sin (\pi s/4)}$ ($0<s<4$)。$s=1$ の近傍で $x^{s-1}\log x$ は $|\log x|(x^{\sigma -1})$ で押さえられ、$\frac{x^{\sigma -1}|\log x|}{1+x^4}$ は $\sigma$ が $1$ の近くで可積分な優関数をもつので、積分記号下で微分できる。$F^{\prime }(s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}\log x}{1+x^4}dx$ なので $I=F^{\prime }(1)$。$F^{\prime }(s)=-\frac{\pi }{4}\cdot \frac{\frac{\pi }{4}\cos (\pi s/4)}{{\sin }^2(\pi s/4)}=-\frac{{\pi }^2\cos (\pi s/4)}{16{\sin }^2(\pi s/4)}$。$s=1$ で $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\sin }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$ より $I=-\frac{{\pi }^2}{16}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2}=-\frac{\sqrt{2}{\pi }^2}{16}\approx -0.872$。検算: $x\mapsto 1/x$ で ${\int }_1^{\infty }\frac{\log x}{1+x^4}dx={\int }_0^1\frac{-\log u{u}^2}{1+u^4}du\cdot (-1)\cdot (-1)$ と変形すると $I=-{\int }_0^1\frac{(1-u^2)(-\log u)}{1+u^4}\cdot$ の形（${\int }_0^1\frac{\log x}{1+x^4}dx+{\int }_0^1\frac{-u^2\log u}{1+u^4}du$ は ${\int }_0^1\frac{(1-x^2)\log x}{1+x^4}dx<0$）となり、$I<0$ で符号も一致する。