数理統計の問題

ある新しい種子の発芽率を $p$（$0<p<1$）とする。$p$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (p)=\frac{p^{\alpha -1}(1-p{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ で $\alpha =2,\beta =3$ としたものを用いる。ここで $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ はベータ関数であり、$\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )$ の平均は $\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ である。

$p$ が与えられたとき、種子 12 粒はそれぞれ互いに独立に確率 $p$ で発芽するものとする。実際に 12 粒をまいたところ、8 粒が発芽した。この観測結果のもとでの $p$ の事後分布の平均を求めよ。

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。母数 $\lambda$ は未知で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $2$、レート母数 $3$）を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 4 個の部品の寿命を観測したところ、
$$1.2,0.8,2.5,0.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均（事後分布の期待値）を求めよ。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ は未知の母数で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=4{\lambda }^2{e}^{-2\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $3$、尺度の逆数 $2$）を考える。

$\lambda$ が与えられたとき互いに独立なこの部品 $4$ 個の寿命を調べたところ、
$$1.2,0.8,2.5,1.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{data})$ を求めよ。