特殊関数・漸近解析の問題

エルミート多項式と直交性. $H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$ はエルミート多項式で, 最高次の係数は $2^n$, かつ
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{H}_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{mn}$$
が成り立つ。$H_0,\dots ,H_3$ は $3$ 次以下の多項式全体の, 重み $e^{-x^2}$ の内積 $⟨f,g⟩=\int fg{e}^{-x^2}dx$ に関する直交基底である。

$F$ の最小化は, $x^6$ と $3$ 次以下の多項式全体との距離の $2$ 乗を求めることである。$x^6={\sum }_{k=0}^6{c}_k{H}_k$ と展開すると, 最小値は直交射影で落ちない成分のノルムの $2$ 乗
$$\min F=c_6^2\Vert H_6{\Vert }^2+c_5^2\Vert H_5{\Vert }^2+c_4^2\Vert H_4{\Vert }^2$$
になる。

展開係数. $x^6$ は偶関数なので $c_5=0$。最高次の係数を比べて $c_6=\frac{1}{64}$。
$$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120$$
より
$$x^6-\frac{H_6(x)}{64}=\frac{15}{2}{x}^4-\frac{45}{4}{x}^2+\frac{15}{8}.$$
右辺の $x^4$ の係数を $H_4(x)=16x^4-48x^2+12$ の最高次係数 $16$ で割って $c_4=\frac{15/2}{16}=\frac{15}{32}$。

ノルム. $\Vert H_6{\Vert }^2=2^6\cdot 6!\sqrt{\pi }=46080\sqrt{\pi }$, $\Vert H_4{\Vert }^2=2^4\cdot 4!\sqrt{\pi }=384\sqrt{\pi }$ より
$$\min F=\frac{46080}{4096}\sqrt{\pi }+\frac{225}{1024}\cdot 384\sqrt{\pi }=\frac{45}{4}\sqrt{\pi }+\frac{675}{8}\sqrt{\pi }=\frac{765}{8}\sqrt{\pi }.$$

検算（モーメントによる計算）. 奇関数の項 $a{x}^3,cx$ は偶関数 $x^6$ と直交するので $a=c=0$ が最適で, ${\mu }_k=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int x^{2k}{e}^{-x^2}dx=\frac{(2k-1)!!}{2^k}$（${\mu }_0=1,{\mu }_1=\frac{1}{2},{\mu }_2=\frac{3}{4},{\mu }_3=\frac{15}{8},{\mu }_4=\frac{105}{16},{\mu }_6=\frac{10395}{64}$）を用いると, 基底 $\{1,x^2\}$ のグラム行列 $G=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right)$, $v=({\mu }_3,{\mu }_4)$ として
$$\frac{\min F}{\sqrt{\pi }}={\mu }_6-v^{\mathsf{T}}{G}^{-1}v=\frac{10395}{64}-\frac{8550}{128}=\frac{765}{8}$$
となり一致する。

重み $e^{-x^2}$ の $L^2$ 空間で、$x^6$ と $\mathrm{span}\{1,x,x^2,x^3\}$ の距離の二乗が最小値。モニックなエルミート多項式 $p_n$（$p_{n+1}=x{p}_n-\frac{n}{2}{p}_{n-1}$）は直交し、$\Vert p_n{\Vert }^2=\frac{n!\sqrt{\pi }}{2^n}$。$\mathrm{span}\{1,x,x^2,x^3\}=\mathrm{span}\{p_0,p_1,p_2,p_3\}$ なので、$x^6$ の $p_4,p_5,p_6$ 方向の成分の二乗和が最小値となる。
展開: $x^6=p_6+\frac{15}{2}{p}_4+\frac{45}{4}{p}_2+\frac{15}{8}{p}_0$（一般に $x^n={\sum }_k\frac{n!}{k!(n-2k)!4^k}{p}_{n-2k}$）。$p_5$ の成分は 0。
$\Vert p_4{\Vert }^2=\frac{24\sqrt{\pi }}{16}=\frac{3\sqrt{\pi }}{2}$、$\Vert p_6{\Vert }^2=\frac{720\sqrt{\pi }}{64}=\frac{45\sqrt{\pi }}{4}$。
最小値 $={\left(\frac{15}{2}\right)}^2\cdot \frac{3\sqrt{\pi }}{2}+\frac{45\sqrt{\pi }}{4}=\frac{675\sqrt{\pi }}{8}+\frac{90\sqrt{\pi }}{8}=\frac{765\sqrt{\pi }}{8}$。
検算: $\int x^{12}{e}^{-x^2}dx=\frac{10395}{64}\sqrt{\pi }$ に対し、各成分の二乗ノルムは $p_0$: $\frac{225}{64}$, $p_2$: $\frac{4050}{64}$, $p_4$: $\frac{5400}{64}$, $p_6$: $\frac{720}{64}$（$\sqrt{\pi }$ 倍）で、和は $\frac{10395}{64}$ と一致。最小値は $a=b=c=d$ を適切に取った場合で、$a=c=0$、$b=\frac{45}{4}$ の係数に相当する $p_2,p_0$ 成分を打ち消したとき達成される。