エルミート多項式の直交性と漸化式

$\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} H_{n} e^{- x^{2}} d x = 2^{n} n! π δ_{mn}$ と漸化式 $x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ を使って、 $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} H_{2} H_{4} e^{- x^{2}} d x$ のような積分の値を求められる

前提

ガウス積分（大学数学微分積分）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（71 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

説明

エルミート多項式 $H_{n} (x)$ は、重み $e^{- x^{2}}$ 付きの内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) g (x) e^{- x^{2}} d x$ について互いに直交する多項式の列です。この技能では、直交関係 $\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} H_{n} e^{- x^{2}} d x = 2^{n} n! π δ_{mn}$ と 3 項漸化式 $x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ を使い、 $x^{k} H_{m} H_{n} e^{- x^{2}}$ の積分を、多項式を展開せずに直交性だけで計算できるようになります。量子力学の調和振動子の行列要素（ $⟨ m ∣ x^{2} ∣ n ⟩$ など）や、ガウス重みの関数展開でそのまま使う計算です。

なぜそうしてよいのか

エルミート多項式をロドリゲスの公式 $H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}}$ で定めます（ $δ_{mn}$ は $m = n$ のとき 1、それ以外は 0）。 $\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}}$ は「多項式 $\times e^{- x^{2}}$ 」の形で、微分するたびに $- 2 x$ が掛かって次数が 1 上がるので、 $H_{n}$ は最高次の係数が $2^{n}$ の $n$ 次多項式です（ $H_{0} = 1$ , $H_{1} = 2 x$ , $H_{2} = 4 x^{2} - 2$ , …）。

直交性: $m \leq n$ として $\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} H_{n} e^{- x^{2}} d x = (- 1)^{n} \int_{- \infty}^{\infty} H_{m} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}} d x$ を部分積分します。 $\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} e^{- x^{2}}$ は多項式 $\times e^{- x^{2}}$ なので、多項式を掛けても $x \to \pm \infty$ で $0$ になり、境界項は消えます。 $n$ 回部分積分すると $\int_{- \infty}^{\infty} H_{m}^{(n)} (x) e^{- x^{2}} d x$ が残ります。 $m < n$ なら $H_{m}^{(n)} = 0$ で積分は $0$ 、 $m = n$ なら $H_{n}^{(n)} = 2^{n} n!$ （定数）なので、ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ により値は $2^{n} n! π$ です。

漸化式: $H_{n + 1} = - e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}} H_{n})$ を積の微分で計算すると $H_{n + 1} = 2 x H_{n} - H_{n}^{'}$ です。次に $H_{n}^{'}$ （ $n - 1$ 次）を $H_{k}$ で展開します。部分積分と今の式から $\int H_{n}^{'} H_{k} e^{- x^{2}} d x = - \int H_{n} (H_{k}^{'} - 2 x H_{k}) e^{- x^{2}} d x = \int H_{n} H_{k + 1} e^{- x^{2}} d x$ なので、これが $0$ でないのは $k = n - 1$ のときだけで、値は $2^{n} n! π$ 。 $H_{n - 1}$ のノルムの 2 乗 $2^{n - 1} (n - 1)! π$ で割って $H_{n}^{'} = 2 n H_{n - 1}$ を得ます。これを代入すると $H_{n + 1} = 2 x H_{n} - 2 n H_{n - 1}$ 、すなわち
$x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1} (n \geq 1), x H_{0} = \frac{1}{2} H_{1}$
です。

手順

被積分関数の $x$ の因子を各 $H$ に割り振る。例えば $x^{2} H_{m} H_{n} = (x H_{m}) (x H_{n})$ とみる（重み $e^{- x^{2}}$ はそのまま残す）
漸化式 $x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ で $x H_{m}$ , $x H_{n}$ をエルミート多項式の 1 次結合に直す
積を展開し、直交性 $\int_{- \infty}^{\infty} H_{j} H_{k} e^{- x^{2}} d x = 0$ $(j \neq = k)$ により、添字が一致する組の項だけを残す
残った項に $\int_{- \infty}^{\infty} H_{k}^{2} e^{- x^{2}} d x = 2^{k} k! π$ を代入して計算する

例題

エルミート多項式 $H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}}$ について、広義積分 $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} H_{2} (x) H_{4} (x) e^{- x^{2}} d x$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x^{2} H_{2} H_{4} = (x H_{2}) (x H_{4})$ とみる。

【手順 2】漸化式 $x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ で $n = 2$ , $n = 4$ とすると
$x H_{2} = \frac{1}{2} H_{3} + 2 H_{1}, x H_{4} = \frac{1}{2} H_{5} + 4 H_{3} .$

【手順 3】 $(\frac{1}{2} H_{3} + 2 H_{1}) (\frac{1}{2} H_{5} + 4 H_{3})$ を展開すると、 $H_{3} H_{5}$ , $H_{1} H_{5}$ , $H_{1} H_{3}$ の項は直交性で積分が $0$ になり、残るのは $\frac{1}{2} \cdot 4 H_{3}^{2} = 2 H_{3}^{2}$ だけ。よって
$\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} H_{2} H_{4} e^{- x^{2}} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} H_{3}^{2} e^{- x^{2}} d x .$

【手順 4】 $\int_{- \infty}^{\infty} H_{3}^{2} e^{- x^{2}} d x = 2^{3} \cdot 3! π = 48 π$ を代入して、値は $2 \cdot 48 π = 96 π$ 。

（検算: $H_{2} = 4 x^{2} - 2$ , $H_{4} = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12$ より $x^{2} H_{2} H_{4} = 64 x^{8} - 224 x^{6} + 144 x^{4} - 24 x^{2}$ 。 $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2 k} e^{- x^{2}} d x = \frac{1 \cdot 3 \dots ( 2 k - 1 )}{2 ^{k}} π$ を使うと $(64 \cdot \frac{105}{16} - 224 \cdot \frac{15}{8} + 144 \cdot \frac{3}{4} - 24 \cdot \frac{1}{2}) π = (420 - 420 + 108 - 12) π = 96 π$ で一致する。）

答え: $96 π$

よくある誤り

漸化式の係数 $\frac{1}{2}$ を落とし、 $x H_{n} = H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ としてしまう誤り。正しくは $x H_{n} = \frac{1}{2} H_{n + 1} + n H_{n - 1}$ （ $H_{n + 1} = 2 x H_{n} - 2 n H_{n - 1}$ ）。例えば $n = 1$ で $x \cdot 2 x = \frac{1}{2} (4 x^{2} - 2) + 1$ となることで確かめられる
ノルムの 2 乗を $n! π$ や $π$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{- \infty}^{\infty} H_{n}^{2} e^{- x^{2}} d x = 2^{n} n! π$ で、例えば $\int H_{3}^{2} e^{- x^{2}} d x = 48 π$
重み $e^{- x^{2}}$ を付けずに $\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} H_{n} d x = 0$ と考えてしまう誤り。重みがないと積分はそもそも収束せず、直交性は重み $e^{- x^{2}}$ 付きの内積についてのみ成り立つ
重み $e^{- x^{2} /2}$ を使う確率論流のエルミート多項式 $H e_{n}$ （ $H e_{1} = x$ , $H e_{2} = x^{2} - 1$ ）の公式と混ぜてしまう誤り。 $H e_{n}$ では $x H e_{n} = H e_{n + 1} + n H e_{n - 1}$ 、 $\int H e_{n}^{2} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π n!$ であり、 $H_{n}$ とは係数がちがう。どちらの定義かを問題文で確認する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0$ 以上の整数 $n$ に対し、エルミート多項式 $H_{n} (x)$ を
$H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}}$
で定める。 $H_{n}$ は直交関係
$\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} (x) H_{n} (x) e^{- x^{2}} d x = 2^{n} n! π δ_{mn} (m, n \geq 0)$
と、 $n \geq 1$ に対する漸化式
$x H_{n} (x) = \frac{1}{2} H_{n + 1} (x) + n H_{n - 1} (x)$
を満たす（ $δ_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、広義積分
$J = \int_{- \infty}^{\infty} x H_{2} (x) H_{3} (x) e^{- x^{2}} d x$
の値を求めよ。

エルミート多項式の直交性と漸化式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題