微分法の問題

不等式 $x>2\log x$ を示すには、(左辺)$-$(右辺) を関数 $f(x)=x-2\log x$ とおき、その最小値が正であることを調べればよい。そこで、$f(x)$ の増減を調べて最小値を求める。

手順1：微分する
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$$

手順2：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる
$x>0$ より分母 $x$ は正なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $x-2$ の符号と一致する。
- $0<x<2$ のとき $f^{\prime }(x)<0$ であり、$f(x)$ は減少する。
- $x=2$ のとき $f^{\prime }(x)=0$ である。
- $x>2$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ であり、$f(x)$ は増加する。

手順3：増減表をつくる
$$\begin{array}{ccccc}x& 0& \cdots & 2& \cdots \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +\\ f(x)& & \searrow & 2-2\log 2& \nearrow \end{array}$$

手順4：最小値を求める
$f(x)$ は $x=2$ で減少から増加に変わるので、$x=2$ で最小となる。その値は
$$f(2)=2-2\log 2$$
である。

（参考）$2<e$ より $\log 2<\log e=1$ なので、$f(2)=2(1-\log 2)>0$ となる。したがって、$x>0$ のとき $f(x)\geqq f(2)>0$ であり、不等式 $x>2\log x$ が成り立つ。

答え：最小値は $2-2\log 2$（$x=2$ のとき）

$f(x)=x-2\log x(x>0)$ を微分すると $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$。
$x>0$ では $x=2$ のとき $f^{\prime }(x)=0$ となる。$0<x<2$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>2$ で $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f(x)$ は $x=2$ で最小になる。
最小値は $f(2)=2-2\log 2$。
確認: $\log 2\approx 0.693$ より $f(2)\approx 2-1.386=0.614>0$。$x=1$ では $f(1)=1$、$x=3$ では $f(3)=3-2\cdot 1.0986\approx 0.803$ で、どちらも $f(2)$ より大きい。
よって $f(x)\ge 2-2\log 2>0$ となり、$x>2\log x$ が成り立つ。