微分法の問題

方針 不等式 $e^x>2x$ を示すには、差 $f(x)=e^x-2x$ がつねに正であることを示せばよい。そのために $f(x)$ の増減を調べて最小値を求める。

手順1：微分する
$$f^{\prime }(x)=e^x-2$$

手順2：$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求める
$e^x=2$ より $x=\log 2$。

手順3：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる
$e^x$ は増加関数なので、
- $x<\log 2$ のとき $e^x<2$ より $f^{\prime }(x)<0$（$f(x)$ は減少）
- $x>\log 2$ のとき $e^x>2$ より $f^{\prime }(x)>0$（$f(x)$ は増加）

増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{cccc}x& \cdots & \log 2& \cdots \\ f^{\prime }(x)& -& 0& +\\ f(x)& \searrow & \text{極小}& \nearrow \end{array}$$

手順4：最小値を計算する
$f(x)$ は $x=\log 2$ で最小となり、$e^{\log 2}=2$ より
$$f(\log 2)=e^{\log 2}-2\log 2=2-2\log 2$$

手順5：不等式の結論（確認）
$2<e$ より $\log 2<\log e=1$ なので、最小値は $2-2\log 2=2(1-\log 2)>0$。よって、すべての実数 $x$ で $f(x)>0$、すなわち $e^x>2x$ が成り立つ。

以上より、求める最小値は $2-2\log 2$ である。

$f^{\prime }(x)=e^x-2$ より、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=\log 2$ のときである。$x<\log 2$ では $f^{\prime }(x)<0$、$x>\log 2$ では $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f(x)$ は $x=\log 2$ で最小になる。最小値は $f(\log 2)=e^{\log 2}-2\log 2=2-2\log 2$ である。検算：$\log 2\approx 0.693$ なので $2-2\log 2\approx 0.614>0$ であり、$x=0$ のとき $f(0)=1$、$x=1$ のとき $f(1)=e-2\approx 0.718$ で、どちらも $0.614$ より大きい。したがって最小値は $2-2\log 2$ で正なので、すべての実数 $x$ で $e^x>2x$ が成り立つ。