測度論・実解析の問題

方針. 正の数 $c$ を固定し、区間 $I_c=[c,2c]$ 上で $\sum _{n=1}^{\infty }|f(nx)|<\infty$ がほとんどいたるところ成り立つことを示す。級数が収束すればその項は $0$ に収束するので、$I_c$ 上ほとんどいたるところ $f(nx)\to 0$ となる。最後に、可算個の $I_c$ で $(0,\infty )$ を覆い、負の側と $x=0$ を処理する。

ステップ 1: 各項の積分の計算. $c>0$ を固定する。$g(t)=1_{I_c}(t/n)|f(t)|$ とは書かず、直接計算する。非負可測関数 $x\mapsto 1_{I_c}(x)|f(nx)|$ は、非負可測関数 $G_n(t)=1_{[nc,2nc]}(t)|f(t)|$ を用いて $G_n(nx)$ と書ける（$c\le x\le 2c$ と $nc\le nx\le 2nc$ は同値なので）。用いてよい変数変換の公式から
$${\int }_c^{2c}|f(nx)|dx={\int }_{\mathbb{R}}{G}_n(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_{\mathbb{R}}{G}_n(t)dt={\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{n}{1}_{[nc,2nc]}(t)|f(t)|dt$$
である。

ステップ 2: 和の評価. 単調収束定理（非負可測関数の級数では和と積分を交換できる）を両辺に用いると
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_c^{2c}|f(nx)|dx={\int }_{\mathbb{R}}\phi (t)|f(t)|dt,\phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{1}_{[nc,2nc]}(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
となる。ここで $\phi (t)\le 3$ がすべての $t\in \mathbb{R}$ で成り立つことを示す。

$t$ を固定する。$1_{[nc,2nc]}(t)=1$ となるのは $nc\le t\le 2nc$、すなわち $\frac{t}{2c}\le n\le \frac{t}{c}$ のときである。
- そのような正の整数 $n$ が存在しなければ $\phi (t)=0\le 3$ である。
- 存在するとき、$n\ge 1$ より $t\ge nc\ge c>0$ である。$n$ は長さ $\frac{t}{c}-\frac{t}{2c}=\frac{t}{2c}$ の閉区間 $\left[\frac{t}{2c},\frac{t}{c}\right]$ に含まれる整数なので、その個数は高々 $\frac{t}{2c}+1$ である。また各 $n$ は $n\ge \frac{t}{2c}$ を満たすので $\frac{1}{n}\le \frac{2c}{t}$ である。よって
$$\phi (t)\le \left(\frac{t}{2c}+1\right)\cdot \frac{2c}{t}=1+\frac{2c}{t}\le 1+2=3$$
である（最後に $t\ge c$ を用いた）。

したがって $(1)$ より
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_c^{2c}|f(nx)|dx\le 3{\int }_{\mathbb{R}}|f(t)|dt<\infty \text{\hspace{1em}(2)}$$
である。

ステップ 3: $I_c$ 上での概収束. $h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }|f(nx)|$ は非負可測関数の級数なので非負可測関数（値 $\infty$ も許す）であり、単調収束定理より
$${\int }_c^{2c}h(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_c^{2c}|f(nx)|dx<\infty$$
である（$(2)$ による）。用いてよい事実より、$I_c$ のある零集合 $N_c$ を除いて $h(x)<\infty$ である。$x\in I_c\setminus N_c$ では正項級数 ${\sum }_n|f(nx)|$ が収束するので、その一般項は $0$ に収束し、$f(nx)\to 0$ である。

ステップ 4: $(0,\infty )$ 全体. $c=2^k(k\in \mathbb{Z})$ とすると $(0,\infty )=\bigcup _{k\in \mathbb{Z}}[2^k,2^{k+1}]$ である（$x>0$ に対し $k=\lfloor {\log }_{2}x\rfloor$ とすれば $2^k\le x<2^{k+1}$）。$N^{+}={\bigcup }_{k\in \mathbb{Z}}{N}_{2^k}$ は可算個の零集合の和集合なので零集合であり、$x\in (0,\infty )\setminus N^{+}$ ならば $x$ を含む $[2^k,2^{k+1}]$ でステップ 3 が使えて $f(nx)\to 0$ である。

ステップ 5: 負の側と $x=0$. $\tilde{f}(x)=f(-x)$ とおくと、用いてよい事実より $\tilde{f}$ は可測で $\int |\tilde{f}|=\int |f|<\infty$ である。$\tilde{f}$ にステップ 1〜4 を適用すると、零集合 ${\tilde{N}}^{+}$ を除くすべての $y>0$ で $\tilde{f}(ny)=f(-ny)\to 0$ である。$x=-y$ とおけば、零集合 $N^{-}=\{-y:y\in {\tilde{N}}^{+}\}$（ルベーグ測度は反転で不変なので零集合）を除くすべての $x<0$ で $f(nx)\to 0$ である。$\{0\}$ は零集合である。

以上より、零集合 $N^{+}\cup N^{-}\cup \{0\}$ を除くすべての $x\in \mathbb{R}$ で $\underset{n\to \infty }{\lim }f(nx)=0$ が成り立つ。すなわち、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ に対して $f(nx)\to 0$ である。