測度論・実解析の問題

カントール集合の三進表示. $C$ は、各桁が $0$ または $2$ であるような三進展開をもつ $[0,1]$ の点全体である：
$$C=\left\{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a_n}{3^n}|a_n\in \{0,1\}\right\}.$$

$E$ の表示. $x={\sum }_{n\ge 1}2a_n{3}^{-n}$, $y={\sum }_{m\ge 1}2c_m{3}^{-m}$（$a_n,c_m\in \{0,1\}$）とすると
$$\frac{y}{9}=\sum _{n=3}^{\infty }\frac{2c_{n-2}}{3^n}$$
なので
$$x+\frac{y}{9}=\frac{2a_1}{3}+\frac{2a_2}{9}+2\sum _{n=3}^{\infty }\frac{a_n+c_{n-2}}{3^n}.$$
ここで $e_n=a_n+c_{n-2}$（$n\ge 3$）は $\{0,1,2\}$ の値をとり、$a_n$ と $c_{n-2}$ は各 $n$ ごとに独立に選べるので、$(e_n{)}_{n\ge 3}$ は $\{0,1,2\}$ に値をとる任意の列を動く。また $(a_1,a_2)$ はこれと独立に $\{0,1{\}}^2$ を動く。

$\{0,1,2\}$ に値をとる任意の列 $(e_n{)}_{n\ge 3}$ に対する ${\sum }_{n\ge 3}{e}_n{3}^{-n}$ の全体は区間 $\left[0,\frac{1}{9}\right]$ に一致する（$t\in [0,\frac{1}{9}]$ なら $9t\in [0,1]$ は三進展開 $9t={\sum }_{k\ge 1}{d}_k{3}^{-k}$ をもち、$t={\sum }_{n\ge 3}{d}_{n-2}{3}^{-n}$ となる。逆に和は $0$ 以上 ${\sum }_{n\ge 3}2\cdot 3^{-n}=\frac{1}{9}$ 以下）。よって
$$2\sum _{n=3}^{\infty }\frac{e_n}{3^n}\text{の全体}=\left[0,\frac{2}{9}\right]$$
であり、
$$E=\bigcup _{(a_1,a_2)\in \{0,1{\}}^2}\left(\frac{2a_1}{3}+\frac{2a_2}{9}+\left[0,\frac{2}{9}\right]\right).$$
$\frac{2a_1}{3}+\frac{2a_2}{9}$ は $0,\frac{2}{9},\frac{6}{9},\frac{8}{9}$ の 4 通りなので
$$E=\left[0,\frac{2}{9}\right]\cup \left[\frac{2}{9},\frac{4}{9}\right]\cup \left[\frac{6}{9},\frac{8}{9}\right]\cup \left[\frac{8}{9},\frac{10}{9}\right]=\left[0,\frac{4}{9}\right]\cup \left[\frac{2}{3},\frac{10}{9}\right].$$

測度. 2 つの区間は交わらないので
$$\lambda (E)=\frac{4}{9}+\left(\frac{10}{9}-\frac{6}{9}\right)=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}.$$
（なお $C$ はルベーグ測度 $0$ であるが、和集合をとると正の測度をもつ集合になる。）

$C=\left\{{\sum }_{k\ge 1}{a}_k{3}^{-k}:a_k\in \{0,2\}\right\}$。$x=\sum a_k{3}^{-k}$, $y=\sum b_j{3}^{-j}$ とすると
$$x+\frac{y}{9}=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\sum _{k\ge 3}(a_k+b_{k-2})3^{-k}.$$
$a_k,b_{k-2}$ ($k\ge 3$) は独立に $\{0,2\}$ を動くので、$d_k=a_k+b_{k-2}$ は各 $k\ge 3$ について独立に $\{0,2,4\}$ の値を自由にとる（$a_1,a_2$ は $b$ と無関係に動く）。よって
$$E=\left\{\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}\right\}+2\left\{\sum _{k\ge 3}{e}_k{3}^{-k}:e_k\in \{0,1,2\}\right\}.$$
三進展開より ${\sum }_{k\ge 3}{e}_k{3}^{-k}$ の全体は $[0,3^{-2}]=[0,1/9]$ 全体なので、第 2 項は $[0,2/9]$。
第 1 項の取りうる値は $0,2/9,2/3,8/9$。したがって
$$E=[0,2/9]\cup [2/9,4/9]\cup [6/9,8/9]\cup [8/9,10/9]=\left[0,\frac{4}{9}\right]\cup \left[\frac{6}{9},\frac{10}{9}\right].$$
2 つの区間は交わらないので $\lambda (E)=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$。
検算: 長さ $4/9$ の区間 2 つで合計 $8/9$。また $E\subset [0,10/9]$ で、$(4/9,6/9)$ は含まれない（長さ $2/9$ の隙間）ので $10/9-2/9=8/9$ と一致。