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測度論・実解析の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学測度論・実解析

正の整数 $n$ に対し
$J_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1 - cos x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} d x$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限
$n \to \infty lim n^{3/2} J_{n}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ラプラスの方法（ガウス型の極限）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$(1 + x^{2})^{- n}$ は $x$ が $1/ n$ 程度のところに集中する。 $x = t / n$ と置換してみよ。

ヒント 2

置換後の被積分関数は $n (1 - cos (t / n)) (1 + t^{2} / n)^{- n}$ 。各点極限と、 $1 - cos s \leq s^{2} /2$ 、 $(1 + a / n)^{n}$ の単調性を使った優関数を考える。

ヒント 3

優収束定理により極限は $\frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} e^{- t^{2}} d t$ になる。

答えと解説

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\frac{π}{4}

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解説を読む

$x = t / n$ と置換すると $d x = d t / n$ なので
$n^{3/2} J_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} g_{n} (t) d t, g_{n} (t) = n (1 - cos \frac{t}{n}) (1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} .$

各点収束. $1 - cos s = \frac{s ^{2}}{2} + O (s^{4})$ より $n (1 - cos \frac{t}{n}) \to \frac{t ^{2}}{2}$ 。また $n lo g (1 + \frac{t ^{2}}{n}) \to t^{2}$ より $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} \to e^{- t^{2}}$ 。よって $g_{n} (t) \to \frac{t ^{2}}{2} e^{- t^{2}}$ 。

優関数. $1 - cos s \leq \frac{s ^{2}}{2}$ より $0 \leq n (1 - cos \frac{t}{n}) \leq \frac{t ^{2}}{2}$ 。また $a \geq 0$ に対し $(1 + \frac{a}{n})^{n}$ は $n$ について単調増加なので、 $n \geq 2$ では $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{n} \geq (1 + \frac{t ^{2}}{2})^{2}$ 。したがって $n \geq 2$ で
$0 \leq g_{n} (t) \leq h (t) = \frac{t ^{2}}{2} (1 + \frac{t ^{2}}{2})^{- 2} .$
$h$ は連続で $∣ t ∣ \to \infty$ のとき $h (t) \sim \frac{2}{t ^{2}}$ なので $h \in L^{1} (R)$ 。

極限. ルベーグの優収束定理より
$n \to \infty lim n^{3/2} J_{n} = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} e^{- t^{2}} d t .$
部分積分で $\int t^{2} e^{- t^{2}} d t = [- \frac{t}{2} e^{- t^{2}}]_{- \infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \int e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}$ 。よって
$n \to \infty lim n^{3/2} J_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .$

別解

$x = t / n$ と置換すると
$n^{3/2} J_{n} = n^{3/2} \int \frac{1 - cos ( t / n )}{( 1 + t ^{2} / n ) ^{n}} \frac{d t}{n} = \int n (1 - cos \frac{t}{n}) (1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} d t .$

被積分関数の各点極限: $n (1 - cos (t / n)) \to \frac{t ^{2}}{2}$ 、 $(1 + t^{2} / n)^{- n} \to e^{- t^{2}}$ 。

優越関数: $1 - cos u \leq u^{2} /2$ より $n (1 - cos (t / n)) \leq t^{2} /2$ 。また $n \geq 2$ のとき $(1 + t^{2} / n)^{n} \geq 1 + t^{2} + \frac{n ( n - 1 )}{2} \frac{t ^{4}}{n ^{2}} \geq 1 + \frac{t ^{4}}{4}$ なので $(1 + t^{2} / n)^{- n} \leq \frac{1}{1 + t ^{4} /4}$ 。よって被積分関数は $\frac{t ^{2}}{2 ( 1 + t ^{4} /4 )}$ 以下で、これは可積分。優収束定理が使える。

$n \to \infty lim n^{3/2} J_{n} = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} e^{- t^{2}} d t = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .$

( $\int t^{2} e^{- t^{2}} d t = \frac{1}{2} Γ (\frac{3}{2}) \cdot 2 = \frac{π}{2}$ を用いた。)

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