数値解析の問題

1. 変数の置き換え

$x=\alpha s$ とおく。$a{\alpha }^2=1$ より $a{x}^2=s^2$ なので
$$g(x)=\alpha s(p+q{s}^2+r{s}^4)=\alpha h(s),h(s)=ps+q{s}^3+r{s}^5$$
と書ける。$\frac{d}{dx}=\frac{1}{\alpha }\frac{d}{ds}$ だから、$x=\alpha$ での 3 条件は $s=1$ での次の条件と同じである。
$$h(1)=1,h^{\prime }(1)=0,h^{\prime \prime }(1)=0$$

2. $p,q,r$ を決める

$h^{\prime }(s)=p+3q{s}^2+5r{s}^4$、$h^{\prime \prime }(s)=6qs+20r{s}^3$ なので、条件は次の連立一次方程式になる。
$$p+q+r=1,p+3q+5r=0,6q+20r=0$$
- 第 3 式から $q=-\frac{10}{3}r$。
- 第 1 式から $p=1-q-r=1+\frac{7}{3}r$。
- これらを第 2 式に代入すると $1+\frac{7}{3}r-10r+5r=1-\frac{8}{3}r=0$ となり、$r=\frac{3}{8}$。

よって $q=-\frac{5}{4}$、$p=\frac{15}{8}$ と一意に定まり、
$$h(s)=\frac{15s-10s^3+3s^5}{8}$$
となる。

3. 誤差の漸化式

$h(1)=1,h^{\prime }(1)=h^{\prime \prime }(1)=0$ なので、$h(s)-1$ は $(s-1{)}^3$ で割り切れる。実際に割ると
$$h(s)-1=\frac{3s^5-10s^3+15s-8}{8}=\frac{(s-1{)}^3(3s^2+9s+8)}{8}$$
である（右辺を展開すると $(s^3-3s^2+3s-1)(3s^2+9s+8)=3s^5-10s^3+15s-8$ となり一致する）。

$e_n=x_n-\alpha$、$s_n=\frac{x_n}{\alpha }$ とおくと、$s_n-1=\frac{e_n}{\alpha }$ であり、
$$e_{n+1}=x_{n+1}-\alpha =\alpha (h(s_n)-1)=\alpha \cdot \frac{e_n^3}{{\alpha }^3}\cdot \frac{3s_n^2+9s_n+8}{8}$$
となる。したがって
$$\frac{e_{n+1}}{e_n^3}=\frac{1}{{\alpha }^2}\cdot \frac{3s_n^2+9s_n+8}{8}=a\cdot \frac{3s_n^2+9s_n+8}{8}$$
が成り立つ。

4. 極限を求める

$x_0$ が $\alpha$ に十分近ければ $g^{\prime }(\alpha )=0$ より $x_n\to \alpha$、すなわち $s_n\to 1$ である。よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^3}=a\cdot \frac{3+9+8}{8}=\frac{5a}{2}$$
となる。この値は $0$ でないので、収束の次数はちょうど $3$ である。

$y=x/\alpha =\sqrt{a}x$ とおくと、$g(x)/\alpha =h(y)$、$h(y)=py+q{y}^3+r{y}^5$ となる。$g(\alpha )=\alpha ,g^{\prime }(\alpha )=0,g^{\prime \prime }(\alpha )=0$ は $h(1)=1,h^{\prime }(1)=0,h^{\prime \prime }(1)=0$ と同値である。

• $p+q+r=1$
• $p+3q+5r=0$
• $6q+20r=0$

第3式から $q=-\frac{10}{3}r$。第1式から $p=1+\frac{7}{3}r$。これらを第2式に代入すると $1-\frac{8}{3}r=0$ なので、$r=\frac{3}{8},q=-\frac{5}{4},p=\frac{15}{8}$ となる。

次に $h^{\prime \prime \prime }(y)=6q+60r{y}^2$ より $h^{\prime \prime \prime }(1)=-\frac{15}{2}+\frac{45}{2}=15$。$h(1)=1,h^{\prime }(1)=h^{\prime \prime }(1)=0$ なので、テイラー展開から $h(y)-1=\frac{15}{6}(y-1{)}^3+\cdots =\frac{5}{2}(y-1{)}^3+\dots$ となる。

$x_{n+1}-\alpha =\alpha (h(y_n)-1)$、$y_n-1=(x_n-\alpha )/\alpha$ より、
$x_{n+1}-\alpha \approx \alpha \cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{(x_n-\alpha {)}^3}{{\alpha }^3}=\frac{5}{2}\cdot \frac{(x_n-\alpha {)}^3}{{\alpha }^2}=\frac{5}{2}a(x_n-\alpha {)}^3$。

$h$ は5次の多項式なので展開は $(y-1{)}^5$ までで終わる。$x_n\to \alpha$ のとき高次の項は無視できるので、極限は $\frac{5a}{2}$ である。

検算として、$h(1)=\frac{15}{8}-\frac{10}{8}+\frac{3}{8}=1$、$h^{\prime }(1)=\frac{15}{8}-\frac{15}{4}+\frac{15}{8}=0$、$h^{\prime \prime }(1)=-\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}+\frac{15}{2}=0$ で条件を満たす。