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数値解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ に対し、ニュートン法
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$
を初期値 $x_{0} = 2$ で適用する。このとき数列 $(x_{n})$ は $f$ の零点 $x = 1$ に収束し、すべての $n$ で $x_{n} > 1$ となることが知られている。

$x_{2}$ の値と、極限
$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - 1}{x _{n} - 1}$
の値を、この順に組で求めよ。 $x_{2}$ は既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の反復（説明と入口の問題）
ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $f (x)$ を因数分解して、零点 $x = 1$ の重複度を調べる。誤差 $e_{n} = x_{n} - 1$ についての漸化式を作ると見通しがよい。

ヒント 2

$f (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ , $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ より $\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{3 ( x + 1 )}$ と約分できる。

ヒント 3

$e_{n + 1} = \frac{e _{n} ( 2 e _{n} + 3 )}{3 ( e _{n} + 2 )}$ が成り立ち、 $e_{0} = 1$ から $e_{1} = \frac{5}{9}$ となる。

答えと解説

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(\frac{806}{621}, \frac{1}{2})

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解説を読む

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ であり、 $x = 1$ は $f$ の 2 重根である。また $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ 。

反復式の変形. $x \neq = \pm 1$ のとき
$\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{3 ( x + 1 )} .$
$e_{n} = x_{n} - 1$ とおくと $x_{n} + 2 = e_{n} + 3$ , $x_{n} + 1 = e_{n} + 2$ なので
$e_{n + 1} = e_{n} - \frac{e _{n} ( e _{n} + 3 )}{3 ( e _{n} + 2 )} = \frac{e _{n} { 3 ( e _{n} + 2 ) - ( e _{n} + 3 )}}{3 ( e _{n} + 2 )} = \frac{e _{n} ( 2 e _{n} + 3 )}{3 ( e _{n} + 2 )} .$

$x_{2}$ の計算. $e_{0} = 1$ より
$e_{1} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}, x_{1} = \frac{14}{9} .$
（直接計算でも $f (2) = 4$ , $f^{'} (2) = 9$ より $x_{1} = 2 - \frac{4}{9} = \frac{14}{9}$ 。）
次に
$e_{2} = \frac{\frac{5}{9} ( \frac{10}{9} + 3 )}{3 ( \frac{5}{9} + 2 )} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \frac{37}{9}}{\frac{69}{9}} = \frac{5 \cdot 37}{9 \cdot 69} = \frac{185}{621} .$
よって $x_{2} = 1 + \frac{185}{621} = \frac{806}{621}$ 。 $621 = 3^{3} \cdot 23$ , $806 = 2 \cdot 13 \cdot 31$ なので既約である。

（検算: $f (x_{1}) = (\frac{5}{9})^{2} \cdot \frac{32}{9} = \frac{800}{729}$ , $f^{'} (x_{1}) = 3 \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{23}{9} = \frac{345}{81}$ より $\frac{f ( x _{1} )}{f ^{'} ( x _{1} )} = \frac{160}{621}$ 、 $x_{2} = \frac{966}{621} - \frac{160}{621} = \frac{806}{621}$ 。）

収束率. $e_{n} > 0$ かつ $e_{n} \to 0$ なので
$\frac{x _{n + 1} - 1}{x _{n} - 1} = \frac{e _{n + 1}}{e _{n}} = \frac{2 e _{n} + 3}{3 ( e _{n} + 2 )} ⟶ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$
重複度 $m = 2$ の根ではニュートン法は 2 次収束せず、比 $\frac{m - 1}{m} = \frac{1}{2}$ の 1 次収束になる。

以上より、答えは $(\frac{806}{621}, \frac{1}{2})$ 。

別解

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ 。\n $x_{0} = 2$ : $f (2) = 4$ , $f^{'} (2) = 9$ より $x_{1} = 2 - \frac{4}{9} = \frac{14}{9}$ 。\n $x_{1} = \frac{14}{9}$ : $f (x_{1}) = (x_{1} - 1)^{2} (x_{1} + 2) = (\frac{5}{9})^{2} \cdot \frac{32}{9} = \frac{800}{729}$ 、 $f^{'} (x_{1}) = 3 \cdot \frac{196}{81} - 3 = \frac{115}{27}$ 。よって $\frac{f}{f ^{'}} = \frac{800}{729} \cdot \frac{27}{115} = \frac{800}{3105} = \frac{160}{621}$ 。\n $x_{2} = \frac{14}{9} - \frac{160}{621} = \frac{966 - 160}{621} = \frac{806}{621}$ 。 $621 = 3^{3} \cdot 23$ 、 $806 = 2 \cdot 13 \cdot 31$ は互いに素なので既約。\n\n極限: $x = 1$ は $f$ の二重零点（ $f (1) = f^{'} (1) = 0$ , $f^{''} (1) = 6 \neq = 0$ ）。 $e_{n} = x_{n} - 1 > 0$ とおくと、 $\frac{f}{f ^{'}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{3 ( x + 1 )}$ なので $e_{n + 1} = e_{n} (1 - \frac{x _{n} + 2}{3 ( x _{n} + 1 )})$ 。 $x_{n} \to 1$ のとき $\frac{x _{n} + 2}{3 ( x _{n} + 1 )} \to \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ だから $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}} \to \frac{1}{2}$ 。\n検算: $\frac{x _{2} - 1}{x _{1} - 1} = \frac{185/621}{5/9} = \frac{185 \cdot 9}{621 \cdot 5} = \frac{37}{69} \approx 0.536$ で $\frac{1}{2}$ に近い。\n\n答え: $(\frac{806}{621}, \frac{1}{2})$ 。

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