数値解析の問題

$g(x)=\frac{x^2+6}{5}$ とおくと、反復は $x_{n+1}=g(x_n)$ の形である。

手順1：不動点を求める。 $g(x)=x$ とすると $x^2+6=5x$、すなわち $x^2-5x+6=0$ である。$(x-2)(x-3)=0$ より、不動点は $x=2,3$ である。

手順2：どの不動点に収束するかを決める。 $g^{\prime }(x)=\frac{2x}{5}$ より
$$g^{\prime }(2)=\frac{4}{5},g^{\prime }(3)=\frac{6}{5}$$
となる。$|g^{\prime }(2)|<1$ なので $2$ は近くの初期値から収束する不動点である。一方、$|g^{\prime }(3)|>1$ なので $3$ の近くからは離れていく。

実際に $x_0=1$ から $2$ に収束することは、次のように確かめられる。$1\le x_n<2$ と仮定すると
$$x_{n+1}<\frac{4+6}{5}=2$$
となる。また $x_n<2$ のとき $x_n^2-5x_n+6=(x_n-2)(x_n-3)>0$ なので
$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n^2-5x_n+6}{5}>0$$
である。よって $x_{n+1}$ は $x_n$ より大きく、$1\le x_{n+1}<2$ も成り立つ。数学的帰納法により、数列は単調に増加し、すべての項が $2$ より小さい。したがって極限 $\alpha$ は $2$ 以下の不動点であり、$\alpha =2$ である。

手順3：収束率を求める。 $\alpha =2$ は $g(2)=2$ を満たすので
$$x_{n+1}-2=\frac{x_n^2+6}{5}-2=\frac{x_n^2-4}{5}=\frac{(x_n-2)(x_n+2)}{5}$$
となる。$x_n\ne 2$ であるから
$$\frac{x_{n+1}-2}{x_n-2}=\frac{x_n+2}{5}⟶\frac{2+2}{5}=\frac{4}{5}(n\to \infty )$$
である。これは一般論の $L=g^{\prime }(\alpha )=g^{\prime }(2)=\frac{4}{5}$ と一致する。$0<L<1$ なので、誤差は毎回およそ $\frac{4}{5}$ 倍ずつ小さくなる（線形収束）。

答えは $(\alpha ,L)=\left(2,\frac{4}{5}\right)$ である。

固定点は $x=(x^2+6)/5$ より $x^2-5x+6=0$、つまり $x=2,3$。$x_0=1$ から出発する。$f(x)=(x^2+6)/5$ は $x\ge 0$ で単調増加。$f(1)=7/5>1$ なので $x_1>x_0$。また $x_n<2$ ならば $x_{n+1}=f(x_n)<f(2)=2$ であり、$x_n<2$ のとき $x_{n+1}-x_n=(x_n-2)(x_n-3)/5>0$ なので単調増加。よって $x_n$ は上に有界な単調増加数列で、$\alpha =2$ に収束する。

$x_{n+1}-2=(x_n^2-4)/5=(x_n-2)(x_n+2)/5$ より
$\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_n-\alpha }=\frac{x_n+2}{5}\to \frac{4}{5}$。

したがって $L=4/5$（$f^{\prime }(2)=2\cdot 2/5=4/5$ とも一致）。検算：$x_1=1.4,x_2=1.592,x_3=1.7068$。比 $(x_2-2)/(x_1-2)=0.408/0.6=0.68$ で、$(x_1+2)/5=0.68$ と一致し、$x_n\to 2$ で $4/5$ に近づく。

答え：$(\alpha ,L)=(2,4/5)$。