数値解析の問題

数列 $\{x_n\}$ を
$$x_0=1,x_{n+1}=\frac{x_n^2+6}{5}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。この数列はある実数 $\alpha$ に収束し、すべての $n$ で $x_n\ne \alpha$ であることが知られている。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_n-\alpha }$$
を考える。$\alpha$ と $L$ を、この順に組 $(\alpha ,L)$ で答えよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3+x-2$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =1$ のただ 1 つである。この方程式にニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用する。初期値 $x_0$ は $\alpha$ に十分近くとり、数列 $\{x_n\}$ はすべての $n$ で $x_n\ne 1$ を満たしながら $1$ に収束するものとする。誤差を $e_n=x_n-1$ とおくとき、極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-5$ の正の実数解を $\alpha =\sqrt[3]{5}$ とする。初期値 $x_0=2$ からニュートン法 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$ で数列 $\{x_n\}$ を定めると、すべての $n$ について $x_n>\alpha$ であり、$x_n\to \alpha$ $(n\to \infty )$ となる。このとき、極限 $$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^2}$$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3-2x-4$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =2$ だけである。初期値 $x_0=3$ からニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で数列 $\{x_n\}$ を作る。このとき、すべての $n$ について $x_n\ne 2$ であり、$x_n\to 2$ $(n\to \infty )$ となる。誤差を $e_n=x_n-2$ とおくとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3+x-2$ を考える。方程式 $f(x)=0$ はただ 1 つの実数解 $\alpha =1$ をもつ。初期値 $x_0=2$ としてニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用すると、すべての $n$ で $x_n>1$ を満たしながら $x_n\to 1$ となることが知られている。誤差を $e_n=x_n-1$ とおく。正の定数 $p$ と $0$ でない定数 $C$ が存在して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^p}=C$$
が成り立つ。このときの収束の次数 $p$ と誤差定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。