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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数 $f (x) = x^{3} + x - 2$ を考える。方程式 $f (x) = 0$ はただ 1 つの実数解 $α = 1$ をもつ。初期値 $x_{0} = 2$ としてニュートン法
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$
を適用すると、すべての $n$ で $x_{n} > 1$ を満たしながら $x_{n} \to 1$ となることが知られている。誤差を $e_{n} = x_{n} - 1$ とおく。正の定数 $p$ と $0$ でない定数 $C$ が存在して
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{p}} = C$
が成り立つ。このときの収束の次数 $p$ と誤差定数 $C$ を、組 $(p, C)$ の形でこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ニュートン法の収束の次数の技能を使う。まず $α = 1$ が単純根か重根かを $f^{'} (1)$ で調べ、誤差 $e_{n} = x_{n} - 1$ の漸化式を作る。

ヒント 2

$e_{n + 1} = \frac{e _{n} f ^{'} ( x _{n} ) - f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ と変形し、 $f (1 + e)$ と $f^{'} (1 + e)$ を $e$ の多項式に展開する。単純根なら $lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ となる。

ヒント 3

$f (1 + e) = 4 e + 3 e^{2} + e^{3}$ 、 $f^{'} (1 + e) = 4 + 6 e + 3 e^{2}$ より、分子は $e_{n} f^{'} (x_{n}) - f (x_{n}) = 3 e_{n}^{2} + 2 e_{n}^{3}$ となる。あとは $e_{n}^{2}$ で割って $n \to \infty$ とする。

答えと解説

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(2, \frac{3}{4})

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解説を読む

手順 1：根が単純根かを確かめる。
$f (x) = x^{3} + x - 2 = (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ であり、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ なので $f^{'} (1) = 4 \neq = 0$ 。よって $α = 1$ は単純根であり、ニュートン法は 2 次収束すると予想される。これを誤差の漸化式で確かめる。

手順 2：誤差 $e_{n}$ の漸化式を作る。
$x_{n} = 1 + e_{n}$ を代入して展開すると（ $f$ は多項式なので、 $α = 1$ のまわりのテイラー展開は有限で終わる）
$f (1 + e) = (1 + e)^{3} + (1 + e) - 2 = 4 e + 3 e^{2} + e^{3},$
$f^{'} (1 + e) = 3 (1 + e)^{2} + 1 = 4 + 6 e + 3 e^{2} .$
ニュートン法の式の両辺から $1$ を引くと
$e_{n + 1} = e_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} = \frac{e _{n} f ^{'} ( x _{n} ) - f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} .$
分子を計算すると
$e_{n} (4 + 6 e_{n} + 3 e_{n}^{2}) - (4 e_{n} + 3 e_{n}^{2} + e_{n}^{3}) = 3 e_{n}^{2} + 2 e_{n}^{3} .$
したがって
$e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2} ( 3 + 2 e _{n} )}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}} .$

手順 3：極限を求める。
$e_{n} > 0$ なので両辺を $e_{n}^{2}$ で割って
$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{3 + 2 e _{n}}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}} ⟶ \frac{3}{4} (n \to \infty, e_{n} \to 0) .$
この極限は $0$ でない有限の値なので $p = 2$ である（ $p < 2$ なら $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{p}} = \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} e_{n}^{2 - p} \to 0$ 、 $p > 2$ なら $+ \infty$ に発散するので、条件を満たす $p$ は $2$ だけ）。

確認： 一般公式 $lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ を使うと、 $f^{''} (x) = 6 x$ より $f^{''} (1) = 6$ 、 $f^{'} (1) = 4$ なので $\frac{6}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ となり一致する。

以上より $(p, C) = (2, \frac{3}{4})$ 。

別解

$f (x) = x^{3} + x - 2$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ 、 $f^{''} (x) = 6 x$ 。 $f (1) = 0$ であり、 $f^{'} (1) = 4 \neq = 0$ なので $α = 1$ は単根。したがってニュートン法は 2 次収束し、 $p = 2$ 。

誤差定数は $C = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ で与えられる。

直接確かめる。 $x = 1 + e$ とおくと
$f (1 + e) = (1 + e)^{3} + (1 + e) - 2 = 4 e + 3 e^{2} + e^{3}$ 、
$f^{'} (1 + e) = 3 (1 + e)^{2} + 1 = 4 + 6 e + 3 e^{2}$ 。

$e_{n + 1} = e - \frac{4 e + 3 e ^{2} + e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} = \frac{e ( 4 + 6 e + 3 e ^{2} ) - ( 4 e + 3 e ^{2} + e ^{3} )}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} = \frac{3 e ^{2} + 2 e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}}$ 。

よって $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{3 + 2 e _{n}}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}} \to \frac{3}{4}$ 。

検算： $C = \frac{6}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ で一致する。

数値でも確認する。 $x_{0} = 2$ のとき $f (2) = 8$ 、 $f^{'} (2) = 13$ なので $x_{1} = 2 - \frac{8}{13} = \frac{18}{13}$ 、 $e_{1} = \frac{5}{13} \approx 0.385$ 。 $e_{0} = 1$ で、比 $e_{1} / e_{0}^{2} \approx 0.385$ は公式の値 $\frac{5}{13}$ と一致する。

以上より $(p, C) = (2, 3/4)$ 。

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