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数値解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数
$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$
は $x = 1$ を重解にもつ。実数の定数 $λ$ に対し、反復
$x_{n + 1} = x_{n} - λ \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$
を考える。 $λ$ は次の条件を満たすように定める。

条件: $x_{0} \neq = 1$ が $1$ に十分近いどんな初期値であっても、数列 ${x_{n}}$ はすべての $n$ で $x_{n} \neq = 1$ を満たしながら $1$ に収束し、さらに
$n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - 1}{x _{n} - 1} = 0$
が成り立つ（超一次収束する）。

この条件を満たす $λ$ はただ 1 つ存在する。その $λ$ と、そのときの極限値
$C = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - 1}{( x _{n} - 1 ) ^{2}}$
の組 $(λ, C)$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f (x) = (x - 1)^{2} (x + 3)$ と因数分解し、誤差 $e_{n} = x_{n} - 1$ についての漸化式を作ろう。

ヒント 2

$x = 1 + e$ とすると $\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{e ( 4 + e )}{8 + 3 e}$ となる。これから $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}}$ の $e_{n} \to 0$ での極限を $λ$ で表してみよう。

ヒント 3

$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}} \to 1 - \frac{λ}{2}$ なので、超一次収束には $λ$ が特定の値でなければならない。その値を代入すると $e_{n + 1}$ は $e_{n}$ の簡単な有理式になる。

答えと解説

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(2, \frac{1}{8})

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解説を読む

因数分解 $f (x) = (x - 1)^{2} (x + 3)$ である（実際 $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 3) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ ）。 $g (x) = x + 3$ とおき、誤差を $e_{n} = x_{n} - 1$ とする。 $x = 1 + e$ と書くと $g (1 + e) = 4 + e$ である。

反復を誤差で表す $f (x) = e^{2} g$ より
$f^{'} (x) = 2 e g + e^{2} g^{'} = e (2 g + e g^{'}) = e (2 (4 + e) + e) = e (8 + 3 e)$
したがって $e \neq = 0$ （かつ $8 + 3 e \neq = 0$ ）のとき
$\frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = \frac{e ^{2} ( 4 + e )}{e ( 8 + 3 e )} = \frac{e ( 4 + e )}{8 + 3 e}$
となり、
$e_{n + 1} = e_{n} - λ \frac{e _{n} ( 4 + e _{n} )}{8 + 3 e _{n}} = e_{n} \cdot \frac{8 + 3 e _{n} - λ ( 4 + e _{n} )}{8 + 3 e _{n}} = e_{n} \cdot \frac{( 8 - 4 λ ) + ( 3 - λ ) e _{n}}{8 + 3 e _{n}} (1)$

$λ$ の決定 $e_{n} \to 0$ のとき $(1)$ より
$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}} = \frac{( 8 - 4 λ ) + ( 3 - λ ) e _{n}}{8 + 3 e _{n}} \to \frac{8 - 4 λ}{8} = 1 - \frac{λ}{2}$
である。 $λ \neq = 2$ ならこの極限は $0$ でないので超一次収束しない（ $∣1 - λ /2∣ < 1$ なら一次収束、それ以外では一般に収束しない）。よって条件を満たすには $λ = 2$ が必要である。（これは重複度 $m = 2$ の根に対する修正ニュートン法 $x_{n + 1} = x_{n} - m f (x_{n}) / f^{'} (x_{n})$ にあたる。）

$λ = 2$ のとき $(1)$ に代入すると
$e_{n + 1} = e_{n} \cdot \frac{0 + e _{n}}{8 + 3 e _{n}} = \frac{e _{n}^{2}}{8 + 3 e _{n}} (2)$
$∣ e_{0} ∣ \leq 1$ （かつ $e_{0} \neq = 0$ ）とすると $8 + 3 e_{0} \geq 5$ より $∣ e_{1} ∣ \leq \frac{∣ e _{0} ∣ ^{2}}{5} \leq \frac{∣ e _{0} ∣}{5}$ かつ $e_{1} \neq = 0$ となり、帰納的にすべての $n$ で $0 < ∣ e_{n} ∣ \leq \frac{∣ e _{0} ∣}{5 ^{n}}$ が成り立つ。よって $x_{n} \neq = 1$ のまま $x_{n} \to 1$ であり、 $e_{n + 1} / e_{n} = e_{n} / (8 + 3 e_{n}) \to 0$ だから条件を満たす。したがって $λ = 2$ である。

$C$ の計算 $(2)$ より
$\frac{x _{n + 1} - 1}{( x _{n} - 1 ) ^{2}} = \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{1}{8 + 3 e _{n}} \to \frac{1}{8} (n \to \infty)$
これは一般公式 $C = \frac{g ^{'} ( 1 )}{2 g ( 1 )} = \frac{1}{2 \cdot 4}$ とも一致し、 $C \neq = 0$ なので収束の次数はちょうど $2$ である。

以上より
$(λ, C) = (2, \frac{1}{8})$

別解

$f (x) = (x - 1)^{2} (x + 3)$ と因数分解できる（展開すると $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ で一致）。 $e = x - 1$ とおくと $f = e^{2} (e + 4)$ 、 $f^{'} = 2 e (e + 4) + e^{2} = e (3 e + 8)$ なので $\frac{f}{f ^{'}} = \frac{e ( e + 4 )}{3 e + 8}$ 。

反復の誤差は $e_{n + 1} = e_{n} - λ \frac{e _{n} ( e _{n} + 4 )}{3 e _{n} + 8}$ 。 $e_{n} \to 0$ のとき $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}} = 1 - λ \frac{e _{n} + 4}{3 e _{n} + 8} \to 1 - \frac{λ}{2}$ 。これが $0$ になる条件から $λ = 2$ （重解の重複度 2 に一致）。このとき
$e_{n + 1} = e_{n} \cdot \frac{( 3 e _{n} + 8 ) - 2 ( e _{n} + 4 )}{3 e _{n} + 8} = \frac{e _{n}^{2}}{3 e _{n} + 8} .$
$e_{n} \neq = 0$ かつ $e_{n}$ が $0$ に十分近い（ $3 e_{n} + 8 \neq = 0$ ）なら $e_{n + 1} \neq = 0$ で、 $∣ e_{n + 1} ∣ < ∣ e_{n} ∣$ となり $e_{n} \to 0$ に収束する。よって
$C = lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = lim \frac{1}{3 e _{n} + 8} = \frac{1}{8} .$

検算: $e_{0} = 0.1$ のとき $e_{1} = 0.01/8.3 \approx 0.0012048$ 、 $e_{1} / e_{0}^{2} \approx 0.1205 \approx \frac{1}{8}$ に近い。

答え: $(λ, C) = (2, \frac{1}{8})$

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