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微分積分の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学微分積分

実数全体で定義された関数 $h (y) = y + y^{3}$ は狭義単調増加で、実数全体から実数全体への全単射である。その逆関数を $g (x)$ とする（すなわち、すべての実数 $x$ に対して $g (x) + g (x)^{3} = x$ が成り立つ）。 $g$ の $x = 0$ における 7 階微分係数 $g^{(7)} (0)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

テイラー展開（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$g$ は何回でも微分可能な奇関数です。 $g (x) = a_{1} x + a_{3} x^{3} + a_{5} x^{5} + a_{7} x^{7} + O (x^{9})$ とおいて、関係式 $g (x) + g (x)^{3} = x$ に代入しましょう。

ヒント 2

$g (x)^{3}$ を $x^{7}$ の項まで展開すると $a_{1}^{3} x^{3} + 3 a_{1}^{2} a_{3} x^{5} + (3 a_{1}^{2} a_{5} + 3 a_{1} a_{3}^{2}) x^{7}$ となります。係数を低い次数から順に比較します。

ヒント 3

$a_{1} = 1$ , $a_{3} = - 1$ , $a_{5} = 3$ が得られます。 $x^{7}$ の係数比較から $a_{7}$ を求め、 $g^{(7)} (0) = 7! a_{7}$ を計算しましょう。

答えと解説

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- 60480

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解説を読む

$g$ のなめらかさと奇関数性 $h^{'} (y) = 1 + 3 y^{2} > 0$ なので、逆関数定理により $g$ は何回でも微分可能であり、 $g^{'} (x) = \frac{1}{h ^{'} ( g ( x ))}$ を繰り返し微分できる。また $h (- y) = - h (y)$ より $h$ は奇関数なので、その逆関数 $g$ も奇関数であり、 $g (0) = 0$ 。

したがって $g$ の $x = 0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）は奇数次の項だけからなり、
$g (x) = a_{1} x + a_{3} x^{3} + a_{5} x^{5} + a_{7} x^{7} + O (x^{9}) (a_{k} = \frac{g ^{(k)} ( 0 )}{k !})$
と書ける。

係数の決定 $g (x) + g (x)^{3} = x$ に代入し、各次数の係数を比較する。まず
$g (x)^{3} = a_{1}^{3} x^{3} + 3 a_{1}^{2} a_{3} x^{5} + (3 a_{1}^{2} a_{5} + 3 a_{1} a_{3}^{2}) x^{7} + O (x^{9}) .$
- $x^{1}$ : $a_{1} = 1$
- $x^{3}$ : $a_{3} + a_{1}^{3} = 0$ より $a_{3} = - 1$
- $x^{5}$ : $a_{5} + 3 a_{1}^{2} a_{3} = 0$ より $a_{5} = 3$
- $x^{7}$ : $a_{7} + 3 a_{1}^{2} a_{5} + 3 a_{1} a_{3}^{2} = 0$ より $a_{7} + 9 + 3 = 0$ 、よって $a_{7} = - 12$

したがって
$g (x) = x - x^{3} + 3 x^{5} - 12 x^{7} + O (x^{9}) .$

微分係数 $g^{(7)} (0) = 7! a_{7} = 5040 \cdot (- 12) = - 60480$ 。

別解

$g$ は $g + g^{3} = x$ 、すなわち $g = x - g^{3}$ を満たし、 $g (0) = 0$ , $g$ は奇関数で実解析的。マクローリン展開 $g (x) = \sum a_{n} x^{n}$ を求める。ラグランジュの反転公式（ $x = h (y) = y (1 + y^{2})$ の逆関数）より
$a_{n} = \frac{1}{n} [y^{n - 1}] (\frac{y}{h ( y )})^{n} = \frac{1}{n} [y^{n - 1}] (1 + y^{2})^{- n} .$
$n = 7$ : $[y^{6}] (1 + y^{2})^{- 7} = [u^{3}] (1 + u)^{- 7} = (3 - 7) = - (3 9) = - 84$ なので $a_{7} = - 12$ 。
確認: $n = 3$ : $\frac{1}{3} \cdot [u] (1 + u)^{- 3} = \frac{1}{3} (- 3) = - 1$ , $n = 5$ : $\frac{1}{5} [u^{2}] (1 + u)^{- 5} = \frac{1}{5} \cdot 15 = 3$ 。実際 $g = x - g^{3}$ に $g = x - x^{3} + 3 x^{5} + \dots$ を代入し、 $g^{3} = x^{3} - 3 x^{5} + (3 \cdot 3 + 3) x^{7} + \dots = x^{3} - 3 x^{5} + 12 x^{7}$ なので $a_{7} = - 12$ と一致。
よって $g^{(7)} (0) = 7! \cdot a_{7} = 5040 \cdot (- 12) = - 60480$ 。

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