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微分積分の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学微分積分

平面上の領域
$D = {(x, y) ∣ x > 0, 1 \leq x^{2} - y^{2} \leq 4, 2 \leq x y \leq 5}$
に対して、重積分
$I = \iint_{D} (x^{4} - y^{4}) d x d y$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

領域の境界を表す式 $x^{2} - y^{2}$ と $x y$ をそのまま新しい変数 $u, v$ にとると、積分領域が長方形になります。

ヒント 2

ヤコビアン $\frac{\partial ( u , v )}{\partial ( x , y )} = 2 (x^{2} + y^{2})$ と、 $x^{4} - y^{4} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ に注目しましょう。

ヒント 3

被積分関数とヤコビアンの $x^{2} + y^{2}$ が打ち消し合い、 $I = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} \int_{1}^{4} u d u d v$ となります。変換が $D$ 上で 1 対 1 であることも確認しましょう。

答えと解説

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\frac{45}{4}

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解説を読む

変数変換の設定 $u = x^{2} - y^{2}$ , $v = x y$ とおく。 $D$ では $x > 0$ , $x y \geq 2 > 0$ なので $y > 0$ であり、 $D$ は第 1 象限に含まれる。

変換が 1 対 1 であること 第 1 象限の点 $(x, y)$ と $u$ , $v > 0$ の対応を調べる。 $y = \frac{v}{x}$ を $x^{2} - y^{2} = u$ に代入すると $x^{4} - u x^{2} - v^{2} = 0$ 。 $x^{2} > 0$ より
$x^{2} = \frac{u + u ^{2} + 4 v ^{2}}{2}$
とただ 1 通りに決まり、 $x > 0$ , $y = \frac{v}{x}$ も一意に定まる。よって $(x, y) \mapsto (u, v)$ は $D$ から
$E = {(u, v) ∣ 1 \leq u \leq 4, 2 \leq v \leq 5}$
への 1 対 1 の対応である。

ヤコビアン
$\frac{\partial ( u , v )}{\partial ( x , y )} = 2 x y - 2 y x = 2 x^{2} + 2 y^{2} > 0.$
したがって
$d x d y = \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v = \frac{1}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} d u d v .$

被積分関数の書き換え $x^{4} - y^{4} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) = (x^{2} + y^{2}) u$ なので
$(x^{4} - y^{4}) d x d y = (x^{2} + y^{2}) u \cdot \frac{1}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} d u d v = \frac{u}{2} d u d v .$

計算
$I = \iint_{E} \frac{u}{2} d u d v = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} d v \int_{1}^{4} u d u = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot [\frac{u ^{2}}{2}]_{1}^{4} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{15}{2} = \frac{45}{4} .$

別解

$u = x^{2} - y^{2}$ , $v = x y$ と変数変換する。 $(x + i y)^{2} = u + 2 i v$ であり、 $x > 0$ のとき $(x, y) \mapsto (u, v)$ は単射（ $z = x + i y$ は右半平面で $z^{2}$ が一対一）。ヤコビアンは
$\frac{\partial ( u , v )}{\partial ( x , y )} = 2 x y - 2 y x = 2 (x^{2} + y^{2}) > 0.$
よって $d x d y = \frac{d u d v}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )}$ 。また $x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2}) = u (x^{2} + y^{2})$ 。 $D$ は $1 \leq u \leq 4$ , $2 \leq v \leq 5$ の長方形に対応するので
$I = \int_{2}^{5} \int_{1}^{4} \frac{u}{2} d u d v = \frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{2} \cdot 3 = \frac{45}{4} .$

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