微分積分の問題

対称性による簡約

被積分関数 $x^2+y^2$ と領域 $D$ は、$x\mapsto -x$ にも $y\mapsto -y$ にも対称である。よって第 1 象限の部分 $D_1=D\cap \{x\ge 0,y\ge 0\}$ 上の積分を 4 倍すればよい。

変数変換

$D_1$ 上で $x=r{\cos }^3\theta ,y=r{\sin }^3\theta (0\le r\le 1,0\le \theta \le \frac{\pi }{2})$ とおく。このとき
$$x^{2/3}+y^{2/3}=r^{2/3}({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r^{2/3}$$
となるので、$D_1$ は $0\le r\le 1,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ に対応する。

ヤコビアンは
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}{\cos }^3\theta & -3r{\cos }^2\theta \sin \theta \\ {\sin }^3\theta & 3r{\sin }^2\theta \cos \theta \end{array}\right|=3r{\cos }^4\theta {\sin }^2\theta +3r{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta =3r{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta$$
であり、$D_1$ の内部で正である。また $x^2+y^2=r^2({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta )$ である。

積分の計算
$$I=4{\int }_0^1{\int }_0^{\pi /2}{r}^2({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta )\cdot 3r{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta dr=12{\int }_0^1{r}^{3}dr{\int }_0^{\pi /2}({\cos }^8\theta {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {\sin }^8\theta )d\theta .$$

${\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{4}$ である。

$\theta \mapsto \frac{\pi }{2}-\theta$ の置換により、2 つの角度積分は等しい。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ とウォリスの公式を用いると
$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^8\theta {\sin }^2\theta d\theta ={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^8\theta d\theta -{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{10}\theta d\theta =\frac{7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{35\pi }{256}-\frac{63\pi }{512}=\frac{7\pi }{512}.$$

したがって
$$I=12\cdot \frac{1}{4}\cdot 2\cdot \frac{7\pi }{512}=\frac{42\pi }{512}=\frac{21\pi }{256}.$$

（検算：同じ変換で面積を計算すると $4{\int }_0^{1}3rdr{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta =6\cdot \frac{\pi }{16}=\frac{3\pi }{8}$ となり、アステロイドの既知の面積と一致する。）

一般化極座標 $x=r{\cos }^3\theta ,y=r{\sin }^3\theta$（$0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$）を用いる。

$|x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}=r^{2/3}$ なので、$D$ は $0\le r\le 1$ に対応する。

ヤコビアンは $\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=3r{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$ である。

被積分関数は $x^2+y^2=r^2({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta )$ となる。

よって
$$I={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^2({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta )\cdot 3r{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta drd\theta =\frac{3}{4}{\int }_0^{2\pi }({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta ){\sin }^2\theta {\cos }^2\theta d\theta .$$

${\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta =1-3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2\theta$、${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta$ より、被積分関数は $\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta -\frac{3}{16}{\sin }^{4}2\theta$ となる。

${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}2\theta d\theta =\pi$、${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{4}2\theta d\theta =\frac{3\pi }{4}$ なので
$${\int }_0^{2\pi }\left(\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta -\frac{3}{16}{\sin }^{4}2\theta \right)d\theta =\frac{\pi }{4}-\frac{9\pi }{64}=\frac{7\pi }{64}.$$

ゆえに $I=\frac{3}{4}\cdot \frac{7\pi }{64}=\frac{21\pi }{256}$。

検算：同じ変換で面積を求めると $\frac{3\pi }{8}$ となり、アステロイドの面積の既知の値と一致する。