微分積分の問題

方針 マクローリン展開では、$x^n$ の係数は
$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$
で与えられます。そこで、$f(x)=e^{2x}$ を $4$ 回微分して $x=0$ を代入します。

ステップ 1: 導関数を求める
合成関数の微分により $(e^{2x}{)}^{\prime }=2e^{2x}$ です。これを繰り返すと
$$f^{\prime }(x)=2e^{2x},f^{\prime \prime }(x)=2^2{e}^{2x},f^{\prime \prime \prime }(x)=2^3{e}^{2x},f^{(4)}(x)=2^4{e}^{2x}$$
となります。

ステップ 2: $x=0$ を代入する
$e^0=1$ なので
$$f^{(4)}(0)=2^4=16$$
です。

ステップ 3: 係数を求める
$$a_4=\frac{f^{(4)}(0)}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$$

別の求め方（確認） $e^t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{t^n}{n!}$ に $t=2x$ を代入すると $e^{2x}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n}{n!}{x}^n$ となります。よって $x^4$ の係数は $\frac{2^4}{4!}=\frac{2}{3}$ で、上の結果と一致します。

剰余項について $f(x)$ を $3$ 次までの多項式で近似したときの誤差（剰余項）は、ラグランジュの形で
$$R_4(x)=\frac{f^{(4)}(c)}{4!}{x}^4=\frac{16e^{2c}}{24}{x}^4(c\text{ は }0\text{ と }x\text{ の間の数})$$
と表せます。一般に、$n$ 次の剰余項 $R_n(x)=\frac{2^n{e}^{2c}}{n!}{x}^n$ は、どの実数 $x$ についても $n\to \infty$ で $0$ に近づきます。そのため、展開した無限級数は $e^{2x}$ に一致します。

答え: $a_4=\frac{2}{3}$

$e^t={\sum }_{n\ge 0}{t}^n/n!$ に $t=2x$ を代入すると、$e^{2x}={\sum }_{n\ge 0}\frac{2^n}{n!}{x}^n$ となる。したがって $a_4=\frac{2^4}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$。
検算：$f^{(4)}(x)=2^4{e}^{2x}$ より $f^{(4)}(0)=16$、$a_4=f^{(4)}(0)/4!=16/24=2/3$。一致する。