数値解析の問題

方針

補間誤差の公式
$$f(x)-p(x)=\frac{f^{(3)}(\xi )}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$$
を使います。$\xi$ は $x$ と節点を含む区間内のある点です。

手順 1：$f^{(3)}$ を求める

$f(x)=3x^3+x-4$ より
$$f^{\prime }(x)=9x^2+1,f^{\prime \prime }(x)=18x,f^{(3)}(x)=18$$
です。$f^{(3)}$ は定数なので、$\xi$ がどこにあっても $f^{(3)}(\xi )=18$ です。したがって
$$\frac{f^{(3)}(\xi )}{3!}=\frac{18}{6}=3$$
となります。これは $f$ の最高次の係数 $3$ に一致します。

手順 2：誤差を求める

節点は $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ なので、$x=4$ のとき
$$f(4)-p(4)=3(4+1)(4-1)(4-2)=3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=90$$
です。

手順 3：$p(4)$ を求める

$f(4)=3\cdot 64+4-4=192$ なので
$$p(4)=f(4)-90=192-90=102$$
となります。

検算（ニュートンの補間公式）

各点での値は $f(-1)=-8,f(1)=0,f(2)=22$ です。差分商を計算すると
$$f[-1,1]=\frac{0-(-8)}{2}=4,f[1,2]=\frac{22-0}{1}=22,f[-1,1,2]=\frac{22-4}{3}=6$$
となるので
$$p(x)=-8+4(x+1)+6(x+1)(x-1)$$
です。これに $x=4$ を代入すると
$$p(4)=-8+20+90=102$$
となり、手順 3 の結果と一致します。

答え：$p(4)=102$

$f(-1)=-3-1-4=-8$、$f(1)=0$、$f(2)=24+2-4=22$ である。

補間誤差の公式より、ある $\xi$ が存在して $f(x)-p(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(x+1)(x-1)(x-2)$ となる。$f^{\prime \prime \prime }(x)=18$ は定数なので $\frac{18}{6}=3$ であり、
$$f(x)-p(x)=3(x+1)(x-1)(x-2)$$
がすべての $x$ で成り立つ。

$x=4$ を代入すると、$f(4)=192+4-4=192$、$3\cdot 5\cdot 3\cdot 2=90$ より
$$p(4)=192-90=102.$$

検算（ニュートン補間）：階差商は $f[-1,1]=\frac{0-(-8)}{2}=4$、$f[1,2]=22$、$f[-1,1,2]=\frac{22-4}{3}=6$ となる。よって $p(x)=-8+4(x+1)+6(x+1)(x-1)$ である。$p(4)=-8+20+90=102$ となり、一致する。