数値解析の問題

ニュートンの差分商で $p(x)$ を求める。
節点 $x_0=-1,x_1=0,x_2=1,x_3=2$、値 $1,0,1,16$ に対して差分商を計算する。

1 階: $f[x_0,x_1]=\frac{0-1}{0-(-1)}=-1$, $f[x_1,x_2]=\frac{1-0}{1-0}=1$, $f[x_2,x_3]=\frac{16-1}{2-1}=15$.

2 階: $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1-(-1)}{1-(-1)}=1$, $f[x_1,x_2,x_3]=\frac{15-1}{2-0}=7$.

3 階: $f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{7-1}{2-(-1)}=2$.

よって
$$p(x)=1-(x+1)+(x+1)x+2(x+1)x(x-1)=2x^3+x^2-2x.$$
（確認: $p(-1)=-2+1+2=1$, $p(0)=0$, $p(1)=1$, $p(2)=16+4-4=16$。）

$x=\frac{1}{2}$ では
$$p\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}$$
なので
$$f\left(\frac{1}{2}\right)-p\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}.$$

誤差公式による検算: 補間誤差は $f(x)-p(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}(x+1)x(x-1)(x-2)$ と表せる（$\xi$ は節点と $x$ を含む区間内の点）。$f(x)=x^4$ では $f^{(4)}=24$ が定数なので、$f(x)-p(x)=(x+1)x(x-1)(x-2)$ がすべての $x$ で成り立つ。$x=\frac{1}{2}$ を代入すると $\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{16}$ となり一致する。

$f(x)=x^4$ は 4 次で、補間点は 4 点 $-1,0,1,2$。$w(x)=(x+1)x(x-1)(x-2)=x^4-2x^3-x^2+2x$ とおく。$f(x)-p(x)$ は 4 次式で最高次の係数が 1、かつ 4 点で 0 になるので $f(x)-p(x)=w(x)$ である。実際 $p(x)=x^4-w(x)=2x^3+x^2-2x$ とおくと、$p(-1)=-2+1+2=1$, $p(0)=0$, $p(1)=2+1-2=1$, $p(2)=16+4-4=16$ となり与えられた値を通る(3 次以下で一意)。
$x=\frac{1}{2}$ では $w\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{16}$。
検算: $f(1/2)=\frac{1}{16}$、$p(1/2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$ より $f-p=\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$。