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数値解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学数値解析

$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = \frac{1}{x}$ について、3 点 $x = 1, 2, 4$ における値 $f (1) = 1$ , $f (2) = \frac{1}{2}$ , $f (4) = \frac{1}{4}$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p (x)$ とする。 $x = 3$ における補間誤差 $f (3) - p (3)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

差分商とニュートンの補間公式（説明と入口の問題）
補間多項式の誤差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（54 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ニュートンの差分商（またはラグランジュの補間公式）で $p (x)$ を作り、 $p (3)$ を計算してから $f (3)$ と比べよう。

ヒント 2

$p (x) = f (1) + f [1, 2] (x - 1) + f [1, 2, 4] (x - 1) (x - 2)$ である。

ヒント 3

$f [1, 2] = - \frac{1}{2}$ , $f [2, 4] = - \frac{1}{8}$ , $f [1, 2, 4] = \frac{1}{8}$ となる。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{12}

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解説を読む

ニュートンの差分商を使って $p (x)$ を求める。

1 階の差分商は
$f [1, 2] = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2 - 1} = - \frac{1}{2}, f [2, 4] = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}}{4 - 2} = - \frac{1}{8} .$
2 階の差分商は
$f [1, 2, 4] = \frac{f [ 2 , 4 ] - f [ 1 , 2 ]}{4 - 1} = \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{8}}{3} = \frac{1}{8} .$
よってニュートン形式の補間多項式は
$p (x) = 1 - \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{1}{8} (x - 1) (x - 2) .$
$x = 3$ を代入すると
$p (3) = 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} .$
したがって
$f (3) - p (3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} .$

（確認）補間誤差は $f (x) - p (x) = f [1, 2, 4, x] (x - 1) (x - 2) (x - 4)$ と表せる。 $f (x) = \frac{1}{x}$ では $f [a, b, c, d] = - \frac{1}{ab c d}$ となるので、 $x = 3$ では $- \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3} \cdot (2) (1) (- 1) = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ で一致する。

別解

$p (x) = a x^{2} + b x + c$ とおく。 $p (1) = 1$ , $p (2) = \frac{1}{2}$ , $p (4) = \frac{1}{4}$ より\n $a + b + c = 1$ , $4 a + 2 b + c = \frac{1}{2}$ , $16 a + 4 b + c = \frac{1}{4}$ 。\n第 2 式 − 第 1 式: $3 a + b = - \frac{1}{2}$ 。第 3 式 − 第 2 式: $12 a + 2 b = - \frac{1}{4}$ すなわち $6 a + b = - \frac{1}{8}$ 。差をとって $3 a = \frac{3}{8}$ , $a = \frac{1}{8}$ 。 $b = - \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = - \frac{7}{8}$ , $c = 1 - \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = \frac{7}{4}$ 。\nよって $p (3) = \frac{9}{8} - \frac{21}{8} + \frac{14}{8} = \frac{1}{4}$ 。 $f (3) = \frac{1}{3}$ なので $f (3) - p (3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ 。\n\n検算（差分商）: $f [x_{0}, \dots, x_{n}] = \frac{( - 1 ) ^{n}}{x _{0} \dots x _{n}}$ より $f [1, 2, 4, 3] = - \frac{1}{24}$ 。誤差 $= f [1, 2, 4, 3] (3 - 1) (3 - 2) (3 - 4) = - \frac{1}{24} \cdot (- 2) = \frac{1}{12}$ ✓。

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