数値解析の問題

ニュートンの補間公式を使います。$x_0=1,x_1=4,x_2=9$ とします。

1. 0 次の差分商（関数値）
$$f[x_0]=1,f[x_1]=2,f[x_2]=3$$

2. 1 次の差分商
$$f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$$
$$f[x_1,x_2]=\frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{9-4}=\frac{1}{5}$$

3. 2 次の差分商
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}{9-1}=\frac{-\frac{2}{15}}{8}=-\frac{1}{60}$$

差分商の表は次のとおりです。
$$\begin{array}{cccc}{x}_i& f[x_i]& 1\text{次}& 2\text{次}\\ 1& 1& & \\ & & \frac{1}{3}& \\ 4& 2& & -\frac{1}{60}\\ & & \frac{1}{5}& \\ 9& 3& & \end{array}$$

4. ニュートンの補間公式
表の上の斜めの列（$1,\frac{1}{3},-\frac{1}{60}$）を係数に使って
$$p(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)=1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{60}(x-1)(x-4)$$

5. $x=2$ を代入
$$p(2)=1+\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{60}\cdot 1\cdot (-2)=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{30}=\frac{30+10+1}{30}=\frac{41}{30}$$

（確認：ラグランジュ補間で計算すると $1\cdot \frac{7}{12}+2\cdot \frac{7}{15}+3\cdot \left(-\frac{1}{20}\right)=\frac{35+56-9}{60}=\frac{41}{30}$ となり一致します。）

よって $p(2)=\frac{41}{30}$ です。

節点 $x_0=1,x_1=4,x_2=9$ について差分商を求める。

1 次差分商:
$f[1,4]=\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$
$f[4,9]=\frac{3-2}{9-4}=\frac{1}{5}$

2 次差分商:
$f[1,4,9]=\frac{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}{9-1}=\frac{-\frac{2}{15}}{8}=-\frac{1}{60}$

ニュートンの補間公式:
$p(x)=1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{60}(x-1)(x-4)$

$x=2$ を代入する:
$p(2)=1+\frac{1}{3}\cdot 1-\frac{1}{60}\cdot 1\cdot (-2)=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{30}$
$=\frac{30}{30}+\frac{10}{30}+\frac{1}{30}=\frac{41}{30}$

検算: $p(4)=1+\frac{1}{3}\cdot 3-0=2$、$p(9)=1+\frac{8}{3}-\frac{1}{60}\cdot 8\cdot 5=1+\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=3$ となり、与えられた値と一致する。
よって $p(2)=\frac{41}{30}\approx 1.3667$（$\sqrt{2}\approx 1.4142$ に近い）。