数値解析の問題

1. $p(3)$ を求める（ニュートンの差分商）

$f(1)=1$, $f(2)=\frac{1}{2}$, $f(4)=\frac{1}{4}$ である。差分商を計算すると
$$f[1,2]=\frac{\frac{1}{2}-1}{2-1}=-\frac{1}{2},f[2,4]=\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{4-2}=-\frac{1}{8},$$
$$f[1,2,4]=\frac{f[2,4]-f[1,2]}{4-1}=\frac{-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{8}.$$
よってニュートン形式の補間多項式は
$$p(x)=1-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{8}(x-1)(x-2).$$
$x=3$ を代入して
$$p(3)=1-\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 2\cdot 1=1-1+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.$$

2. 実際の誤差

$$f(3)-p(3)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.$$

3. $\xi$ を求める

$f^{\prime }(x)=-x^{-2}$, $f^{\prime \prime }(x)=2x^{-3}$, $f^{\prime \prime \prime }(x)=-6x^{-4}$ である。また $(3-1)(3-2)(3-4)=-2$ なので、誤差公式の右辺は
$$\frac{-6{\xi }^{-4}}{6}\cdot (-2)=\frac{2}{{\xi }^4}.$$
これが $\frac{1}{12}$ に等しいから
$$\frac{2}{{\xi }^4}=\frac{1}{12}⟹{\xi }^4=24.$$
$\frac{2}{{\xi }^4}$ は $\xi >0$ で狭義単調減少なので、正の解はただ 1 つで $\xi =\sqrt[4]{24}$。$1<24<256$ より $1<\sqrt[4]{24}<4$ であり（$\sqrt[4]{24}\approx 2.213$）、条件 $1<\xi <4$ を満たす。

（参考：$1/x$ の差分商は $f[x_0,\dots ,x_n]=\frac{(-1{)}^n}{x_0{x}_1\cdots x_n}$ となるので、$f(x)-p(x)=f[1,2,4,x](x-1)(x-2)(x-4)=-\frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{8x}$ と書け、$x=3$ で $\frac{1}{12}$ となることも確かめられる。）

よって答えは $\left(\frac{1}{4},\sqrt[4]{24}\right)$。

節点 $x=1,2,4$ での値は $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$。

差分商を計算する。
- $f[1,2]=\frac{1/2-1}{1}=-\frac{1}{2}$
- $f[2,4]=\frac{1/4-1/2}{2}=-\frac{1}{8}$
- $f[1,2,4]=\frac{-1/8+1/2}{3}=\frac{1}{8}$

ニュートン補間より
$p(x)=1-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{8}(x-1)(x-2)$。

よって $p(3)=1-1+\frac{1}{8}\cdot 2\cdot 1=\frac{1}{4}$。

$f(3)=\frac{1}{3}$ なので $f(3)-p(3)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。

$f^{\prime \prime \prime }(x)=-6/x^4$ なので
$\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}=-\frac{1}{{\xi }^4}$。また $(3-1)(3-2)(3-4)=-2$。

右辺は $\frac{2}{{\xi }^4}$。これが $\frac{1}{12}$ に等しいとき ${\xi }^4=24$。

$\xi >0$ より $\xi =24^{1/4}\approx 2.213$ で、$1<\xi <4$ を満たす。

検算: ${\xi }^4=24$ のとき $2/24=1/12$ で一致する。

答え: $(p(3),\xi )=\left(\frac{1}{4},24^{1/4}\right)$