数値解析の問題

誤差の式を決める。 $e(x)=f(x)-p(x)$ とおく。$p(x)$ は次数 $3$ 以下なので、$e(x)$ は $x^4$ の係数が $2$ の $4$ 次多項式である。また補間条件より $e(0)=e(1)=e(2)=e(3)=0$ である。$4$ 次多項式が $4$ つの相異なる根 $0,1,2,3$ をもち、最高次の係数が $2$ であるから
$$e(x)=2x(x-1)(x-2)(x-3)$$
となる。（補間誤差の公式 $f(x)-p(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}\omega (x)$, $\omega (x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ を用いても、$f^{(4)}(x)=48$ は定数なので $\frac{48}{24}\omega (x)=2\omega (x)$ と同じ結果になる。）

$|\omega (x)|$ の最大値を求める。 組み合わせを工夫して
$$\omega (x)=\{x(x-3)\}\{(x-1)(x-2)\}=(x^2-3x)(x^2-3x+2)$$
と書ける。$t=x^2-3x$ とおくと、$t={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$ より $0\leqq x\leqq 3$ のとき $t$ の範囲は $-\frac{9}{4}\leqq t\leqq 0$ である。このとき
$$\omega =t(t+2)=t^2+2t=(t+1{)}^2-1.$$
この $t$ の $2$ 次関数は $-\frac{9}{4}\leqq t\leqq 0$ において
- $t=-1$ で最小値 $-1$
- 端点 $t=-\frac{9}{4}$ で $\frac{81}{16}-\frac{72}{16}=\frac{9}{16}$、端点 $t=0$ で $0$

をとるので、$\omega$ の値域は $-1\leqq \omega \leqq \frac{9}{16}$ である。よって $\underset{0\leqq x\leqq 3}{\max }|\omega (x)|=1$ であり、これは $t=-1$、すなわち $x^2-3x+1=0$ より $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$（どちらも $[0,3]$ 内）でとられる。

結論。
$$\underset{0\leqq x\leqq 3}{\max }|f(x)-p(x)|=2\cdot 1=2.$$

なお、中央の $x=\frac{3}{2}$ での誤差は $2\cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{8}$ であり、端に近い小区間の方が誤差が大きくなる。

$f$ は 4 次で最高次の係数が 2 である。節点 $0,1,2,3$ に対する補間誤差の公式より、ある $\xi$ について $f(x)-p(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}x(x-1)(x-2)(x-3)$ と書ける。ここで $f^{(4)}(x)=48$ は定数なので $f^{(4)}/4!=2$ となり、 $f(x)-p(x)=2x(x-1)(x-2)(x-3)$ が恒等的に成り立つ。

(直接確かめる。$f-p$ は 4 次で最高次の係数が 2 であり、$x=0,1,2,3$ で 0 になる。よって $2x(x-1)(x-2)(x-3)$ に一致する。)

$w(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ とおく。$t=x-\frac{3}{2}$ とすると $w=(t^2-\frac{9}{4})(t^2-\frac{1}{4})=t^4-\frac{5}{2}{t}^2+\frac{9}{16}$ となる。

$u=t^2$ とおくと、$0\le x\le 3$ のとき $u\in [0,\frac{9}{4}]$ であり、$g(u)=u^2-\frac{5}{2}u+\frac{9}{16}$ を考える。

• 頂点は $u=\frac{5}{4}$ で、$g(\frac{5}{4})=\frac{25}{16}-\frac{25}{8}+\frac{9}{16}=-1$。
• 端点は $g(0)=\frac{9}{16}$、$g(\frac{9}{4})=0$。

したがって $\max |w|=1$ である。$u=\frac{5}{4}$ は $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\in [0,3]$ に対応するので、実際に達成される。

以上より、補間誤差の最大値は $2\times 1=2$ である。