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数値解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数値解析

$n$ を正の整数とする。 $x > - 2$ で定義された関数 $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ について、 $n + 1$ 個の点 $x = 0, 1, 2, \dots, n$ における値 $f (0), f (1), \dots, f (n)$ をとる次数 $n$ 以下の実数係数の補間多項式を $p_{n} (x)$ とする。補間区間の外の点 $x = - 1$ における値 $p_{n} (- 1)$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

差分商とニュートンの補間公式（説明と入口の問題）
補間多項式の誤差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（54 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$p_{n} (- 1)$ を直接求めるのではなく、誤差 $f (- 1) - p_{n} (- 1)$ を差分商を使った誤差の式 $f (x) - p_{n} (x) = f [x_{0}, \dots, x_{n}, x] \prod_{i} (x - x_{i})$ で求めましょう。

ヒント 2

$\frac{1}{x + 2}$ の差分商は $g [t_{0}, \dots, t_{k}] = \frac{( - 1 ) ^{k}}{\prod _{i = 0}^{k} ( t _{i} + 2 )}$ という閉じた形になります。帰納法で確かめましょう。

ヒント 3

点 $0, 1, \dots, n, - 1$ での差分商は $\frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + 2 )!}$ 、 $\prod_{i = 0}^{n} (- 1 - i) = (- 1)^{n + 1} (n + 1)!$ です。これらの積が $f (- 1) - p_{n} (- 1)$ になります。

答えと解説

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\frac{n + 1}{n + 2}

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解説を読む

節点を $x_{i} = i (i = 0, 1, \dots, n)$ とし、 $ω (x) = \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i})$ とおく。ニュートンの補間公式の剰余項（差分商による誤差の表示）より、任意の $x$ （節点と異なる点）に対して $f (x) - p_{n} (x) = f [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}, x] ω (x) (1)$ が成り立つ。

差分商の計算. $g (x) = \frac{1}{x + 2}$ について、相異なる点 $t_{0}, \dots, t_{k}$ に対し $g [t_{0}, \dots, t_{k}] = \frac{( - 1 ) ^{k}}{\prod _{i = 0}^{k} ( t _{i} + 2 )} (2)$ が成り立つことを $k$ に関する帰納法で示す。 $k = 0$ のときは $g (t_{0}) = \frac{1}{t _{0} + 2}$ で正しい。 $k - 1$ まで正しいとすると $g [t_{0}, \dots, t_{k}] = \frac{g [ t _{1} , \dots , t _{k} ] - g [ t _{0} , \dots , t _{k - 1} ]}{t _{k} - t _{0}}$ で、 $P = \prod_{i = 1}^{k - 1} (t_{i} + 2)$ とおくと分子は $\frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{P} (\frac{1}{t _{k} + 2} - \frac{1}{t _{0} + 2}) = \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{P} \cdot \frac{t _{0} - t _{k}}{( t _{0} + 2 ) ( t _{k} + 2 )}$ となる。これを $t_{k} - t_{0}$ で割ると $\frac{( - 1 ) ^{k}}{\prod _{i = 0}^{k} ( t _{i} + 2 )}$ となり、 $(2)$ が示された。

$x = - 1$ での誤差. $(2)$ で $k = n + 1$ 、点を $0, 1, \dots, n, - 1$ とすると $f [x_{0}, \dots, x_{n}, - 1] = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( \prod _{i = 0}^{n} ( i + 2 ) ) \cdot ( - 1 + 2 )} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + 2 )!}$ である（ $\prod_{i = 0}^{n} (i + 2) = 2 \cdot 3 \dots (n + 2) = (n + 2)!$ ）。また $ω (- 1) = i = 0 \prod n (- 1 - i) = (- 1)^{n + 1} (n + 1)!$ である。 $(1)$ より $f (- 1) - p_{n} (- 1) = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + 2 )!} \cdot (- 1)^{n + 1} (n + 1)! = \frac{1}{n + 2} .$

$f (- 1) = 1$ なので $p_{n} (- 1) = 1 - \frac{1}{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2}$ である。

確認. $n = 1$ のとき、2 点 $(0, \frac{1}{2})$ , $(1, \frac{1}{3})$ を通る直線は $p_{1} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} x$ で、 $p_{1} (- 1) = \frac{2}{3}$ となり一致する。 $n = 2$ のとき、差分商は $f [0, 1] = - \frac{1}{6}$ , $f [1, 2] = - \frac{1}{12}$ , $f [0, 1, 2] = \frac{1}{24}$ で、 $p_{2} (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot 2 = \frac{3}{4}$ となり一致する。

答え: $\frac{n + 1}{n + 2}$

別解

$q (x) = 1 - (x + 2) p_{n} (x)$ とおくと、 $p_{n}$ は次数 $n$ 以下なので $q$ は次数 $n + 1$ 以下の多項式。 $x = k (k = 0, 1, \dots, n)$ で $p_{n} (k) = \frac{1}{k + 2}$ より $q (k) = 1 - (k + 2) \cdot \frac{1}{k + 2} = 0$ 。よって $q (x) = c x (x - 1) \dots (x - n)$ （ $c$ は定数）。

$x = - 2$ を代入: $q (- 2) = 1$ 、右辺は $c \prod_{k = 0}^{n} (- 2 - k) = c (- 1)^{n + 1} (n + 2)!$ 。よって $c = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{( n + 2 )!}$ 。

$x = - 1$ を代入: $q (- 1) = 1 - p_{n} (- 1)$ 、右辺は $c \prod_{k = 0}^{n} (- 1 - k) = c (- 1)^{n + 1} (n + 1)! = \frac{( n + 1 )!}{( n + 2 )!} = \frac{1}{n + 2}$ 。

ゆえに $p_{n} (- 1) = 1 - \frac{1}{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2}$ 。

検算: $n = 1$ のとき $p_{1} (x) = \frac{1}{2} - \frac{x}{6}$ （ $p_{1} (0) = \frac{1}{2}, p_{1} (1) = \frac{1}{3}$ ）で $p_{1} (- 1) = \frac{2}{3} = \frac{1 + 1}{1 + 2}$ 。一致。

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