数値解析の問題

ニュートンの差分商による方法

差分商の表を作る。

1 階差分商:
$$f[0,1]=\frac{3-1}{1-0}=2,f[1,2]=\frac{2-3}{2-1}=-1,f[2,4]=\frac{5-2}{4-2}=\frac{3}{2}.$$
2 階差分商:
$$f[0,1,2]=\frac{-1-2}{2-0}=-\frac{3}{2},f[1,2,4]=\frac{\frac{3}{2}-(-1)}{4-1}=\frac{5}{6}.$$
3 階差分商:
$$f[0,1,2,4]=\frac{\frac{5}{6}-\left(-\frac{3}{2}\right)}{4-0}=\frac{\frac{14}{6}}{4}=\frac{7}{12}.$$
よってニュートン形式の補間多項式は
$$p(x)=1+2x-\frac{3}{2}x(x-1)+\frac{7}{12}x(x-1)(x-2).$$
$x=3$ を代入すると、$x(x-1)=6$, $x(x-1)(x-2)=6$ なので
$$p(3)=1+6-\frac{3}{2}\cdot 6+\frac{7}{12}\cdot 6=7-9+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}.$$

ラグランジュ形式による検算

節点 $0,1,2,4$ のラグランジュ基底多項式の $x=3$ での値は
$$L_0(3)=\frac{(3-1)(3-2)(3-4)}{(0-1)(0-2)(0-4)}=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4},L_1(3)=\frac{(3-0)(3-2)(3-4)}{(1-0)(1-2)(1-4)}=\frac{-3}{3}=-1,$$
$$L_2(3)=\frac{(3-0)(3-1)(3-4)}{(2-0)(2-1)(2-4)}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2},L_3(3)=\frac{(3-0)(3-1)(3-2)}{(4-0)(4-1)(4-2)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$
（和は $\frac{1}{4}-1+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=1$ で正しい。）よって
$$p(3)=1\cdot \frac{1}{4}+3\cdot (-1)+2\cdot \frac{3}{2}+5\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}-3+3+\frac{5}{4}=\frac{3}{2}.$$

答えは $p(3)=\frac{3}{2}$。

ニュートンの分点差商を用いる。節点 $0,1,2,4$、値 $1,3,2,5$。

1 次: $f[0,1]=\frac{3-1}{1}=2$、$f[1,2]=\frac{2-3}{1}=-1$、$f[2,4]=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}$。
2 次: $f[0,1,2]=\frac{-1-2}{2}=-\frac{3}{2}$、$f[1,2,4]=\frac{\frac{3}{2}+1}{3}=\frac{5}{6}$。
3 次: $f[0,1,2,4]=\frac{\frac{5}{6}+\frac{3}{2}}{4}=\frac{7}{12}$。

$p(x)=1+2x-\frac{3}{2}x(x-1)+\frac{7}{12}x(x-1)(x-2)$。

$p(3)=1+6-\frac{3}{2}\cdot 6+\frac{7}{12}\cdot 6=1+6-9+\frac{7}{2}=\frac{3}{2}$。

検算: $p(1)=1+2=3$、$p(2)=1+4-3=2$、$p(4)=1+8-18+14=5$。すべて与えられた値と一致。