数値解析の問題

方針 節点を $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ とします。相異なる $3$ 点を通る次数 $2$ 以下の多項式はただ $1$ つなので、ラグランジュの補間公式
$$p(x)=p(x_0)L_0(x)+p(x_1)L_1(x)+p(x_2)L_2(x),L_i(x)=\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
で表せます。求めたいのは $p(3)$ なので、各 $L_i(3)$ を計算します。

手順 1：基底多項式を作る
$$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{6}$$
$$L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}=-\frac{(x+1)(x-2)}{2}$$
$$L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{3}$$

手順 2：$x=3$ を代入する
$$L_0(3)=\frac{2\cdot 1}{6}=\frac{1}{3}$$
$$L_1(3)=-\frac{4\cdot 1}{2}=-2$$
$$L_2(3)=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$$
（確認：$L_0(3)+L_1(3)+L_2(3)=\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}=1$ となり、基底多項式の和が $1$ になる性質と合っています。）

手順 3：値をかけて足す
$$p(3)=3\cdot \frac{1}{3}+1\cdot (-2)+6\cdot \frac{8}{3}=1-2+16=15$$

検算 $p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、$a-b+c=3$, $a+b+c=1$, $4a+2b+c=6$ です。第 $1$ 式と第 $2$ 式から $b=-1$, $a+c=2$。これを第 $3$ 式に代入すると $4a+c=8$ となり、$a=2,c=0$。よって $p(x)=2x^2-x$ で、$p(3)=18-3=15$ となり一致します。

したがって $p(3)=15$ です。

ラグランジュ補間より、節点 $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ に対して
$p(x)=3L_0(x)+1\cdot L_1(x)+6L_2(x)$。

基底多項式を $x=3$ で評価する。
$L_0(3)=\frac{(3-1)(3-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{2\cdot 1}{(-2)(-3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$L_1(3)=\frac{(3+1)(3-2)}{(1+1)(1-2)}=\frac{4\cdot 1}{2\cdot (-1)}=-2$
$L_2(3)=\frac{(3+1)(3-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{4\cdot 2}{3\cdot 1}=\frac{8}{3}$

(確認: $\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}=1$ で、基底の和が 1 になる。)

よって
$p(3)=3\cdot \frac{1}{3}+1\cdot (-2)+6\cdot \frac{8}{3}=1-2+16=15$。

検算: $p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、
$a-b+c=3,a+b+c=1,4a+2b+c=6$。
最初の 2 式より $b=-1,a+c=2$。3 式目は $4a-2+c=6$ より $4a+c=8$。
これと $a+c=2$ から $3a=6$、$a=2,c=0$。
ゆえに $p(x)=2x^2-x$。
$p(-1)=2+1=3,p(1)=1,p(2)=8-2=6$ で条件を満たす。
$p(3)=18-3=15$。