数値解析の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x_1,x_2,\dots ,x_n$ を相異なる実数、$w_1,w_2,\dots ,w_n$ を実数とする。区間 $[-1,1]$ 上の積分に対する数値積分公式
$$Q(f)=\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$$
が、次数 $2n-1$ 以下のすべての実係数多項式 $p$ に対して
$${\int }_{-1}^{1}p(x)dx=Q(p)$$
を満たす（精度の次数が $2n-1$ 以上である）と仮定する。このとき、すべての $k=1,2,\dots ,n$ に対して
$$0<w_k<2$$
が成り立つことを証明せよ。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2}-2$$
にニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を初期値 $x_0=1$ で適用すると、数列 $\{x_n\}$ は $f$ の正の零点 $\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ に収束し、すべての $n$ で $x_n\ne \alpha$ である。誤差を $e_n=x_n-\alpha$ とおくとき、
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^p}=C,C\ne 0$$
を満たす正の整数 $p$（収束の次数）と実数 $C$ が存在する。$p$ と $C$ を $(p,C)$ の順に組で求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3+x^2-5x+3$$
は $x=1$ を重解にもつ。実数の定数 $\lambda$ に対し、反復
$$x_{n+1}=x_n-\lambda \frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を考える。$\lambda$ は次の条件を満たすように定める。

条件: $x_0\ne 1$ が $1$ に十分近いどんな初期値であっても、数列 $\{x_n\}$ はすべての $n$ で $x_n\ne 1$ を満たしながら $1$ に収束し、さらに
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-1}{x_n-1}=0$$
が成り立つ（超一次収束する）。

この条件を満たす $\lambda$ はただ 1 つ存在する。その $\lambda$ と、そのときの極限値
$$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-1}{(x_n-1{)}^2}$$
の組 $(\lambda ,C)$ をこの順に求めよ。

$n$ を正の整数とする。$x>-2$ で定義された関数 $$f(x)=\frac{1}{x+2}$$ について、$n+1$ 個の点 $x=0,1,2,\dots ,n$ における値 $f(0),f(1),\dots ,f(n)$ をとる次数 $n$ 以下の実数係数の補間多項式を $p_n(x)$ とする。補間区間の外の点 $x=-1$ における値 $p_n(-1)$ を $n$ の式で表せ。

区間 $[-1,1]$ を含む開区間で何回でも微分可能な実数値関数 $f$ に対し、端点での導関数の値も用いる数値積分公式 $${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx af(-1)+bf(0)+af(1)+c(f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1))$$ を考える。ここで $a,b,c$ は実数の定数である。この公式が実数係数の次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号で成り立つような 0 以上の整数 $m$ の最大値を、この公式の精度の次数という。精度の次数が最大になるように $a,b,c$ を定めるとき、その $a,b,c$ と、そのときの精度の次数 $m$ の組 $(a,b,c,m)$ を求めよ。