数値解析の問題

関数 $f(x)=x^3$ について、定積分
$$I={\int }_0^2{x}^{3}dx$$
を考える。区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分し、分点を $x_k=\frac{k}{2}(k=0,1,2,3,4)$ とする。複合台形公式
$$T=\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\}$$
による近似値 $T$ と厳密値 $I$ との誤差 $T-I$ を求めよ。

$f(x)=x^2$ とし、定積分 $$I={\int }_1^3{x}^{2}dx$$ を考える。区間 $[1,3]$ を幅 $h=1$ の 2 つの小区間に等分し、分点を $x_0=1,x_1=2,x_2=3$ とする。複合台形公式 $$T=\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\}$$ で求めた近似値 $T$ と厳密値 $I$ との誤差 $T-I$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^2$ の定積分
$$I={\int }_1^3{x}^{2}dx$$
を考える。区間 $[1,3]$ を分割せずにそのまま 1 つの区間とみなし、$h=3-1=2$ として台形公式
$$T=\frac{h}{2}(f(1)+f(3))$$
で近似値 $T$ を求める。このときの誤差 $T-I$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=y-t^2,y(0)=1$$ を考え、$f(t,y)=y-t^2$ とおく。刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、中点法（2 次のルンゲ・クッタ法の一つ） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=1$ から 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で厳密に求めよ。

実数値連続関数 $f$ に対して、区間 $[-1,1]$ 上の積分を 2 点で近似する求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ と重み $w_1,w_2$ は、精度の次数が最大（$3$）になるように定める（2 点のガウス・ルジャンドル求積）。この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
の値を求めよ。