最適化・線形計画法の問題

$n$ を正の整数、$\mathbf{a}=(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{R}}^n$ を任意の実ベクトルとし、
$$\Delta =\{\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n|x_i\ge 0(i=1,\dots ,n),\sum _{i=1}^n{x}_i=1\}$$
とする。最適化問題
$$\text{最小化}f(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^n(x_i-a_i{)}^2\text{制約}\mathbf{x}\in \Delta$$
について、次を証明せよ。

「方程式 $\sum _{i=1}^n\max (a_i-\tau ,0)=1$ を満たす実数 $\tau$ がただ 1 つ存在し、その $\tau$ を用いて $x_i^{\ast }=\max (a_i-\tau ,0)(i=1,\dots ,n)$ と定めた点 ${\mathbf{x}}^{\ast }=(x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast })$ は、この問題のただ 1 つの最適解である。」

ここで最適解とは、${\mathbf{x}}^{\ast }\in \Delta$ であって、すべての $\mathbf{x}\in \Delta$ に対し $f({\mathbf{x}}^{\ast })\le f(\mathbf{x})$ を満たす点のことである。

${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=x^3+2x{y}^2+y^2$$
を考える。実数 $c$ に対して
$$D_c=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\ge c,-1\le y\le 1\}$$
とおく（$D_c$ は凸集合である）。$f$ が $D_c$ 上で凸関数となる、すなわち任意の $\mathbf{p},\mathbf{q}\in D_c$ と $0\le \lambda \le 1$ に対して
$$f(\lambda \mathbf{p}+(1-\lambda )\mathbf{q})\le \lambda f(\mathbf{p})+(1-\lambda )f(\mathbf{q})$$
が成り立つような $c$ の最小値を求めよ。

関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x,y)=x^2-2xy+3y^2+e^{x+y}$$
で定める。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で狭義凸関数であることを証明せよ。

ここで $f$ が狭義凸関数であるとは、相異なる任意の 2 点 $\mathbf{p},\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^2$ と $0<\lambda <1$ を満たす任意の実数 $\lambda$ に対して
$$f(\lambda \mathbf{p}+(1-\lambda )\mathbf{q})<\lambda f(\mathbf{p})+(1-\lambda )f(\mathbf{q})$$
が成り立つことをいう。

なお、次の事実は用いてよい: 「${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^2$ 級関数 $g$ のヘッセ行列 ${\nabla }^{2}g(x,y)$ が、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ で正定値ならば、$g$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上で狭義凸関数である。」

$k$ を正の実数の定数とし、${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-k\log \left(e^x+e^y\right)$$
を考える。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 全体で凸関数となるような $k$ の最大値を $K$ とする。$K$ と、$k=K$ のときの $f$ の ${\mathbb{R}}^2$ 上での最小値を、この順に組 $(K,\text{最小値})$ で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、正の実数 $a_1,\dots ,a_n$, $c_1,\dots ,c_n$, $B$ が
$$\frac{c_1}{a_1}>\frac{c_2}{a_2}>\cdots >\frac{c_n}{a_n}$$
を満たすとする。さらに、ある整数 $k$（$1\le k\le n$）について
$$\sum _{j=1}^{k-1}{a}_j<B<\sum _{j=1}^k{a}_j$$
が成り立つとする（$k=1$ のとき左辺の和は $0$ とする）。実数 $x_1,\dots ,x_n$ を変数とする線形計画問題
$$(\mathrm{P})\text{最大化}\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j\text{制約}\sum _{j=1}^n{a}_j{x}_j\le B,0\le x_j\le 1(j=1,\dots ,n)$$
を考え、$\theta =\frac{1}{a_k}(B-\sum _{j=1}^{k-1}{a}_j)$ とおく。

双対問題と相補性を用いて、点
$$\hat{\mathbf{x}}=(\underset{k-1\text{ 個}}{\underbrace{1,\dots ,1}},\theta ,\underset{n-k\text{ 個}}{\underbrace{0,\dots ,0}})$$
（すなわち $j<k$ で ${\hat{x}}_j=1$、${\hat{x}}_k=\theta$、$j>k$ で ${\hat{x}}_j=0$）が $(\mathrm{P})$ のただ 1 つの最適解であることを証明せよ。