最適化・線形計画法の問題

$f$ が $C^2$ 級であること $f$ は多項式 $x^2-2xy+3y^2$ と、$C^{\infty }$ 級関数 $e^s$ と 1 次式 $s=x+y$ の合成 $e^{x+y}$ の和なので、${\mathbb{R}}^2$ 上で $C^{\infty }$ 級、特に $C^2$ 級である。

ヘッセ行列の計算 $t=e^{x+y}$ とおく。偏微分すると
$$f_x=2x-2y+e^{x+y},f_y=-2x+6y+e^{x+y}$$
であり、さらに
$$f_{xx}=2+t,f_{xy}=f_{yx}=-2+t,f_{yy}=6+t.$$
よって
$${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2+t& -2+t\\ -2+t& 6+t\end{array}\right).$$

正定値であること 任意の $\mathbf{h}=(h_1,h_2{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^2$ に対し、2 次形式を計算すると
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{h}}^{\mathsf{T}}{\nabla }^{2}f(x,y)\mathbf{h}& =(2+t)h_1^2+2(-2+t)h_1{h}_2+(6+t)h_2^2\\ & =(2h_1^2-4h_1{h}_2+6h_2^2)+t(h_1^2+2h_1{h}_2+h_2^2)\\ & =2(h_1-h_2{)}^2+4h_2^2+t(h_1+h_2{)}^2.\end{array}$$
（実際 $2(h_1-h_2{)}^2+4h_2^2=2h_1^2-4h_1{h}_2+2h_2^2+4h_2^2=2h_1^2-4h_1{h}_2+6h_2^2$ である。）

$t=e^{x+y}>0$ なので、3 つの項はすべて $0$ 以上であり、2 次形式は $0$ 以上である。さらに値が $0$ になるとすると、$2(h_1-h_2{)}^2=0$ かつ $4h_2^2=0$ より $h_2=0,h_1=h_2=0$、すなわち $\mathbf{h}=0$ である。したがって $\mathbf{h}\ne 0$ ならば ${\mathbf{h}}^{\mathsf{T}}{\nabla }^{2}f(x,y)\mathbf{h}>0$ であり、${\nabla }^{2}f(x,y)$ はすべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ で正定値である。

（別の確かめ方: 左上の成分 $2+t>0$、行列式 $(2+t)(6+t)-(t-2{)}^2=t^2+8t+12-(t^2-4t+4)=12t+8>0$ なので、首座小行列式がすべて正で正定値。）

結論 $f$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^2$ 級関数で、そのヘッセ行列はすべての点で正定値であるから、問題文で与えられた事実により、$f$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上で狭義凸関数である。