凸集合と凸関数の定義

集合が凸か、関数が凸かを、定義の不等式 $f (λ p + (1 - λ) q) \leq λ f (p) + (1 - λ) f (q)$ で判定できる。1 変数関数では区間で $f^{''} (x) \geq 0$ かどうかで凸性を判定できる

前提

第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）

説明

凸集合とは、中の 2 点を結ぶ線分がいつもその集合からはみ出さない集合のことです。凸関数とは、グラフ上の 2 点を結ぶ弦が、いつもグラフの上側（または上）にある関数のことです。最適化では「凸関数の極小値は最小値になる」などの強い性質が成り立ちます。そのため、まず凸かどうかを判定することが大切です。1 変数関数なら、第 2 次導関数の符号を調べるだけで凸性を判定できます。

なぜそうしてよいのか

2 点 $p, q$ と $0 \leq λ \leq 1$ に対し、点 $λ p + (1 - λ) q$ は $p$ と $q$ を結ぶ線分上の点です（ $λ = 1$ で $p$ 、 $λ = 0$ で $q$ ）。そこで、集合 $C$ が凸であるとは「任意の $p, q \in C$ と任意の $λ \in [0, 1]$ に対して $λ p + (1 - λ) q \in C$ 」が成り立つことと定めます。凸集合（1 変数なら区間） $I$ 上の関数 $f$ が凸関数であるとは、任意の $p, q \in I$ 、 $λ \in [0, 1]$ に対して $f (λ p + (1 - λ) q) \leq λ f (p) + (1 - λ) f (q)$ が成り立つことです。左辺は線分上の点でのグラフの高さ、右辺は同じ点での弦の高さです。つまりこの不等式は「弦がグラフより下に来ない」ことを表し、高校で「下に凸」と呼んだ形にあたります。

第 2 次導関数で判定できる理由を示します。道具として平均値の定理を使います。これは「関数 $g$ が $[a, b]$ で連続、 $(a, b)$ で微分可能なら、 $\frac{g ( b ) - g ( a )}{b - a} = g^{'} (c)$ をみたす $c$ が $a < c < b$ に少なくとも 1 つある」という定理です（弦と平行な接線が引ける、という意味です。 $g (a) = g (b)$ の特別な場合をロルの定理といいます）。いま $f$ は区間 $I$ で 2 回微分可能（端点では片側の微分）とし、 $I$ の内部（端点を除いた部分）で $f^{''} (x) \geq 0$ とします。 $f^{'}$ の導関数が $0$ 以上なので、増減表の考え方により $f^{'}$ は内部で広義に増加します。 $p < q$ を $I$ から取り、弦を $ℓ (x) = f (p) + m (x - p)$ （ $m = \frac{f ( q ) - f ( p )}{q - p}$ ）とし、 $h (x) = f (x) - ℓ (x)$ とおきます。すると $h (p) = h (q) = 0$ 、 $h^{'} (x) = f^{'} (x) - m$ です。 $p < x < q$ を取り、 $[p, x]$ と $[x, q]$ でそれぞれ平均値の定理を使うと、 $h^{'} (s) = \frac{h ( x )}{x - p}, h^{'} (t) = \frac{- h ( x )}{q - x} (p < s < x < t < q)$ をみたす $s, t$ があります。 $s < t$ で $h^{'}$ は広義増加なので $h^{'} (s) \leq h^{'} (t)$ です。よって $h (x) (\frac{1}{x - p} + \frac{1}{q - x}) \leq 0$ となり、括弧内は正なので $h (x) \leq 0$ です。 $x = λ p + (1 - λ) q$ （ $0 < λ < 1$ ）とおくと $ℓ (x) = λ f (p) + (1 - λ) f (q)$ なので、これはまさに定義の不等式です。 $λ = 0, 1$ や $p = q$ のときは等号で明らかで、 $p > q$ のときは $p, q$ の役割を入れ替えればよいです。

逆に、内部のある 1 点 $x_{0}$ で $f^{''} (x_{0}) < 0$ なら凸でないことを示します（ $f^{''}$ の連続性は仮定しません）。定義より $lim_{x \to x_{0}} \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( x _{0} )}{x - x _{0}} = f^{''} (x_{0}) < 0$ です。そこで、ある $δ > 0$ があって、 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ ならこの商は負になります。つまり $x_{0} - δ < x < x_{0}$ では $f^{'} (x) > f^{'} (x_{0})$ 、 $x_{0} < x < x_{0} + δ$ では $f^{'} (x) < f^{'} (x_{0})$ です。 $x_{0}$ は内部の点なので、 $0 < d < δ$ を十分小さく取れば、 $p = x_{0} - d$ 、 $q = x_{0} + d$ はどちらも $I$ に入ります。つまり $p, q$ は区間 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ)$ の内部から取ります。上と同じ $h$ を作り、 $x = x_{0}$ として平均値の定理を使うと、 $p < s < x_{0} < t < q$ で $h^{'} (s) = \frac{h ( x _{0} )}{d}$ 、 $h^{'} (t) = - \frac{h ( x _{0} )}{d}$ をみたす $s, t$ があります。もし $h (x_{0}) \leq 0$ なら $h^{'} (s) \leq 0 \leq h^{'} (t)$ 、すなわち $f^{'} (s) \leq f^{'} (t)$ です。しかし $s, t$ は $x_{0}$ の左右 $δ$ 以内にあるので $f^{'} (s) > f^{'} (x_{0}) > f^{'} (t)$ となり、矛盾します。よって $h (x_{0}) > 0$ です。これは $λ = \frac{1}{2}$ で $f (\frac{p + q}{2}) > \frac{f ( p ) + f ( q )}{2}$ となることを意味し、定義の不等式が破れます。以上から、区間 $I$ で 2 回微分可能な $f$ について「 $f$ が凸関数 $⟺$ $I$ の内部のすべての $x$ で $f^{''} (x) \geq 0$ 」が成り立ちます。

手順

集合の凸性を調べるときは、任意の $p, q \in C$ 、 $λ \in [0, 1]$ に対して $λ p + (1 - λ) q \in C$ が成り立つかを確かめる。凸でないことを示すには、成り立たない $p, q, λ$ の組を 1 つ挙げればよい。
関数の凸性を調べるときは、まず定義域が凸集合（1 変数なら区間）であることを確認する。
1 変数で 2 回微分可能なら $f^{''} (x)$ を計算し、因数分解などで符号を調べやすい形にする。
定義域の区間の内部（端点を除いた部分）全体で $f^{''} (x) \geq 0$ かどうかを、不等式を解いて調べる。
内部全体で $f^{''} \geq 0$ なら凸関数である。内部に $f^{''} (x_{0}) < 0$ となる点 $x_{0}$ が 1 つでもあれば凸関数ではない。小さい $d > 0$ で $p = x_{0} - d, q = x_{0} + d, λ = \frac{1}{2}$ とすると、定義の不等式が破れる。

例題

関数 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5 x$ を区間 $[a, \infty)$ で考える。 $f$ がこの区間で凸関数となるような実数 $a$ の最小値を求めよ。

例題の解答

手順 2：定義域 $[a, \infty)$ は区間なので凸集合である。その内部は $(a, \infty)$ である。
手順 3： $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x + 5$ より $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$ である。
手順 4： $f^{''} (x) \geq 0 ⟺ x \leq - 1$ または $x \geq 1$ である。また、 $- 1 < x < 1$ では $f^{''} (x) < 0$ である。
手順 5： $a \geq 1$ なら、内部 $(a, \infty)$ のすべての $x$ で $x > 1$ となり $f^{''} (x) > 0$ なので、 $f$ は凸関数である。 $a < 1$ なら、 $x_{0} = \frac{m a x ( a , - 1 ) + 1}{2}$ とおくと $a < x_{0}$ かつ $- 1 < x_{0} < 1$ である。よって $x_{0}$ は内部の点で $f^{''} (x_{0}) < 0$ となり、 $f$ は凸関数ではない。
以上より、 $f$ が凸関数となるのは $a \geq 1$ のときで、 $a$ の最小値は $1$ である。

答え: $1$

よくある誤り

凸関数を「上に凸」の意味に取り違えて、 $f (x) = - x^{2}$ を凸関数としてしまう誤り。正しくは、 $f^{''} (x) = - 2 < 0$ なのでこの関数は凸関数ではない。凸関数は高校でいう「下に凸」で、 $f (x) = x^{2}$ （ $f^{''} = 2 \geq 0$ ）が凸関数の例である。
凸関数であるためには $f^{''} (x) > 0$ が必要だと考えて、 $f (x) = x^{4}$ を凸でないとしてしまう誤り。正しくは、条件は $f^{''} (x) \geq 0$ である。 $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ は $x = 0$ で $0$ になるが常に $0$ 以上なので、 $x^{4}$ は $R$ 上で凸関数である。
定義域が区間でないことを見落とす誤り。たとえば $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ （ $x \neq = 0$ ）は $f^{''} (x) = \frac{6}{x ^{4}} > 0$ だが、定義域 ${x ∣ x \neq = 0}$ は凸集合ではない（ $p = - 1, q = 1, λ = \frac{1}{2}$ とすると中点 $0$ が含まれない）。そのため、定義域全体で凸関数とはいえない。正しくは、 $x > 0$ や $x < 0$ のように区間に制限して判定する。
特定の $p, q, λ$ で条件が成り立ったことだけで凸と結論してしまう誤り。正しくは、すべての $p, q$ とすべての $λ \in [0, 1]$ で成り立つ必要がある。たとえば ${x ∣ x \leq - 1} \cup {x ∣ x \geq 1}$ は、 $p = 2, q = 3$ では線分が集合に含まれる。しかし $p = - 1, q = 1, λ = \frac{1}{2}$ では中点 $0$ が含まれないので、凸集合ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ヘッセ行列による凸性の判定（大学数学最適化・線形計画法）