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最適化・線形計画法の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学最適化・線形計画法

$a$ を実数の定数とし、 $R^{3}$ 上の関数
$f (x, y, z) = x^{4} + y^{4} + z^{4} + a (x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2})$
を考える。 $f$ が $R^{3}$ 全体で凸関数となるような $a$ の値の全体は閉区間 $[α, β]$ になる。 $α, β$ をこの順に組 $(α, β)$ で求めよ。

この問題で使うもの

ヘッセ行列による凸性の判定（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
凸集合と凸関数の定義（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$C^{2}$ 級関数が凸であることは、ヘッセ行列が全点で半正定値であることと同値です。まず特定の点と方向を選んで必要条件を出し、次に端の値で凸性を示しましょう。

ヒント 2

対角成分 $f_{xx} = 12 x^{2} + 2 a (y^{2} + z^{2})$ を $x = 0$ の点で見ると $a$ の下限が出ます。点 $(1, 1, 0)$ で方向 $(1, - 1, 0)$ の二次形式 $v^{T} H v$ を計算すると $a$ の上限が出ます。

ヒント 3

$v^{T} H v = 24 - 4 a$ となります。十分性については、上限の値で $f$ が $\frac{1}{4} \sum_{ε, δ = \pm 1} (x + ε y + δ z)^{4}$ と書けることを確かめ、 $f$ が $a$ について一次であることを使いましょう。

答えと解説

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(0, 6)

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解説を読む

ヘッセ行列の計算. $f$ は $C^{2}$ 級なので、 $f$ が $R^{3}$ で凸であることと、すべての点でヘッセ行列 $H (x, y, z)$ が半正定値であることは同値である。偏微分すると
$f_{xx} = 12 x^{2} + 2 a (y^{2} + z^{2}), f_{y y} = 12 y^{2} + 2 a (z^{2} + x^{2}), f_{z z} = 12 z^{2} + 2 a (x^{2} + y^{2}),$
$f_{x y} = 4 a x y, f_{y z} = 4 a y z, f_{z x} = 4 a z x$
となる。

必要条件 $a \geq 0$ . 点 $(0, 1, 0)$ では $f_{xx} = 2 a$ である。半正定値行列の対角成分は $0$ 以上なので $a \geq 0$ が必要である。

必要条件 $a \leq 6$ . 点 $(1, 1, 0)$ では
$H = 12 + 2 a 4 a 0 4 a 12 + 2 a 0 00 4 a$
である。 $v = (1, - 1, 0)^{T}$ とすると
$v^{T} H v = (12 + 2 a) + (12 + 2 a) - 2 \cdot 4 a = 24 - 4 a$
となる。これが $0$ 以上であることが必要なので $a \leq 6$ である。

したがって、凸であるためには $0 \leq a \leq 6$ が必要である。

十分性. $a = 0$ のとき、 $f_{0} = x^{4} + y^{4} + z^{4}$ は凸関数 $t^{4}$ の和なので凸である。

$a = 6$ のときを考える。 $ε, δ \in {1, - 1}$ に対して $(x + ε y + δ z)^{4}$ を展開する。
- $x^{4}, y^{4}, z^{4}$ の係数は $1$ である。
- $x^{2} y^{2}$ の係数は $\frac{4 !}{2 ! 2 !} ε^{2} = 6$ である。 $y^{2} z^{2}, z^{2} x^{2}$ も同様に係数は $6$ である。
- それ以外の項は $x^{3} y$ の係数 $4 ε$ 、 $x^{2} y z$ の係数 $12 ε δ$ 、 $x y z^{2}$ の係数 $12 ε$ のように、 $ε$ または $δ$ について奇数次の因子を含む。

そのため、4 通りの $(ε, δ)$ について平均をとると、それ以外の項は消える。よって
$f_{6} = \frac{1}{4} ε, δ \in {\pm 1} \sum (x + ε y + δ z)^{4} = x^{4} + y^{4} + z^{4} + 6 (x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2})$
が成り立つ。凸関数 $t^{4}$ と一次式の合成は凸であり、凸関数の非負結合も凸である。したがって $f_{6}$ は凸である。

$0 \leq a \leq 6$ のとき、 $f$ は $a$ について一次なので
$f_{a} = (1 - \frac{a}{6}) f_{0} + \frac{a}{6} f_{6}$
と書ける。係数 $1 - \frac{a}{6}$ と $\frac{a}{6}$ はともに $0$ 以上なので、 $f_{a}$ は凸関数の非負結合として凸である。

結論. $f$ が凸となる $a$ の全体は $[0, 6]$ であり、 $(α, β) = (0, 6)$ である。

別解

ヘッセ行列の各成分は $f_{xx} = 12 x^{2} + 2 a (y^{2} + z^{2})$ （ $f_{y y}, f_{z z}$ も同様）、 $f_{x y} = 4 a x y$ （ $f_{y z}, f_{z x}$ も同様）である。凸であることは、ヘッセ行列がすべての点で半正定値であることと同値である。

必要条件
- 点 $(x, 0, 0)$ で $f_{y y} = 2 a x^{2} \geq 0$ となるので $a \geq 0$ が必要である。
- $z = 0$ とおき $X = x^{2}, Y = y^{2}$ とすると、2×2 部分の行列式は $24 a (X^{2} + Y^{2}) + (144 - 12 a^{2}) X Y$ である。 $X = Y$ とおくと $48 a + 144 - 12 a^{2} \geq 0$ となり、 $a^{2} - 4 a - 12 \leq 0$ から $- 2 \leq a \leq 6$ を得る。
- したがって $0 \leq a \leq 6$ が必要である。

十分性
- $a = 0$ のとき、 $f = x^{4} + y^{4} + z^{4}$ は凸である。
- $a = 6$ のとき、 $S = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 、 $v = (x, y, z)^{T}$ 、 $D = diag (x^{2}, y^{2}, z^{2})$ として $H = 12 (S I - 2 D + 2 v v^{T})$ と書ける。
- 任意のベクトル $w$ について $u_{i} = x_{i} w_{i}$ 、 $p_{i} = ∣ u_{i} ∣$ とおく。 $S ∣ w ∣^{2} - 2 \sum x_{i}^{2} w_{i}^{2}$ は $\sum_{i \neq = j} x_{j}^{2} w_{i}^{2} - \sum x_{i}^{2} w_{i}^{2}$ に等しく、AM-GM から $\sum_{i \neq = j} x_{j}^{2} w_{i}^{2} \geq 2 \sum_{i < j} p_{i} p_{j}$ である。
- したがって $w^{T} (S I - 2 D + 2 v v^{T}) w \geq 2 \sum_{i < j} p_{i} p_{j} + 2 (\sum s_{i} p_{i})^{2} - \sum p_{i}^{2}$ となる（ $s_{i} = \pm 1$ は符号）。
- $p_{1} \geq p_{2} \geq p_{3}$ とする。 $p_{1} \geq p_{2} + p_{3}$ のとき、右辺は符号の最悪の場合でも $(p_{1} - p_{2} - p_{3})^{2} + 4 p_{2} p_{3} \geq 0$ に等しい。 $p_{1} < p_{2} + p_{3}$ のときは $2 \sum_{i < j} p_{i} p_{j} - \sum p_{i}^{2} \geq 0$ が成り立つ。
- よって $H$ は半正定値で、 $a = 6$ でも凸である。
- $f_{a}$ は $a$ について一次なので、 $f_{a} = (1 - t) f_{0} + t f_{6}$ （ $a = 6 t$ ）と書ける。凸関数の凸結合は凸であるから、 $0 \leq a \leq 6$ で凸である。

以上より $[α, β] = [0, 6]$ 、すなわち $(α, β) = (0, 6)$ である。

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