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最適化・線形計画法の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学最適化・線形計画法

$a$ を実数の定数とし、 $R^{3}$ 上の関数
$f (x, y, z) = x^{4} + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + 2 a x y + 2 y z$
を考える。 $f$ が $R^{3}$ 上で凸関数となるような $a$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

ヘッセ行列による凸性の判定（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$C^{2}$ 級関数が凸であることは、すべての点でヘッセ行列が半正定値であることと同値です。まずヘッセ行列を求めましょう。

ヒント 2

ヘッセ行列は $x$ によって $(1, 1)$ 成分だけが $12 x^{2}$ ずつ大きくなります。最も条件が厳しいのは $x = 0$ のときで、そのときの行列 $H_{0}$ が半正定値かどうかを主小行列式で調べます。

ヒント 3

$H_{0} = 2 2 a 0 2 a 42 026$ の 2 次の主小行列式の一つは $8 - 4 a^{2}$ 、行列式は $40 - 24 a^{2}$ です。これらがすべて $0$ 以上となる条件を求めます。

答えと解説

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\frac{15}{3}

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解説を読む

$f$ は $R^{3}$ 上で $C^{2}$ 級なので、「 $f$ が凸関数 $⟺$ すべての点でヘッセ行列が半正定値」が成り立つ。

偏導関数を計算すると
$f_{xx} = 12 x^{2} + 2, f_{y y} = 4, f_{z z} = 6, f_{x y} = 2 a, f_{y z} = 2, f_{x z} = 0$
なので、ヘッセ行列は
$H (x, y, z) = 12 x^{2} + 2 2 a 0 2 a 42 026 = H_{0} + 12 x^{2} 00 000000, H_{0} = 2 2 a 0 2 a 42 026$
となる。

必要性: $f$ が凸なら、 $x = 0$ の点でのヘッセ行列 $H_{0}$ が半正定値でなければならない。

十分性: $H_{0}$ が半正定値なら、 $diag (12 x^{2}, 0, 0)$ も半正定値なので、その和 $H (x, y, z)$ は任意の点で半正定値（任意のベクトル $v$ に対し $v^{T} H v = v^{T} H_{0} v + 12 x^{2} v_{1}^{2} \geq 0$ ）。

よって、 $f$ が凸 $⟺$ $H_{0}$ が半正定値。

対称行列が半正定値であることは、すべての主小行列式が $0$ 以上であることと同値である。 $H_{0}$ の主小行列式は
- 1 次: $2, 4, 6$ （すべて正）
- 2 次: $2 2 a 2 a 4 = 8 - 4 a^{2}$ 、 $2006 = 12$ 、 $4226 = 20$
- 3 次: 第 1 行で展開して
$det H_{0} = 2 (4 \cdot 6 - 2 \cdot 2) - 2 a (2 a \cdot 6 - 2 \cdot 0) + 0 = 40 - 24 a^{2}$

したがって条件は $8 - 4 a^{2} \geq 0$ かつ $40 - 24 a^{2} \geq 0$ 、すなわち $a^{2} \leq 2$ かつ $a^{2} \leq \frac{5}{3}$ である。 $\frac{5}{3} < 2$ なので、条件は
$a^{2} \leq \frac{5}{3} ⟺ - \frac{15}{3} \leq a \leq \frac{15}{3}$

よって $a$ の最大値は $\frac{15}{3}$ である。

別解

$f$ は $C^{2}$ 級なので、 $R^{3}$ 上で凸であることと、すべての点でヘッセ行列が半正定値であることは同値である。

ヘッセ行列を計算する。 $f_{xx} = 12 x^{2} + 2$ , $f_{x y} = 2 a$ , $f_{x z} = 0$ , $f_{y y} = 4$ , $f_{y z} = 2$ , $f_{z z} = 6$ 。よって
$H (x) = 12 x^{2} + 2 2 a 0 2 a 42 026 = H (0) + 12 x^{2} e_{1} e_{1}^{T} .$
$12 x^{2} e_{1} e_{1}^{T}$ は半正定値なので、 $H (0)$ が半正定値ならすべての $x$ で $H (x)$ も半正定値である。逆に凸ならば $x = 0$ でも半正定値でなければならない。したがって条件は $H (0)$ が半正定値であることと同値である。

$H (0) = 2 2 a 0 2 a 42 026$ について、半正定値であることは全ての主小行列式が 0 以上であることと同値である。
- 1 次主小行列式: $2, 4, 6 \geq 0$ 。
- 2 次主小行列式: $2 \cdot 4 - 4 a^{2} = 8 - 4 a^{2} \geq 0$ より $a^{2} \leq 2$ 。 $4 \cdot 6 - 4 = 20 \geq 0$ 。 $2 \cdot 6 = 12 \geq 0$ 。
- 3 次主小行列式: $det H (0) = 2 (24 - 4) - 2 a (12 a - 0) = 40 - 24 a^{2} \geq 0$ より $a^{2} \leq \frac{5}{3}$ 。

以上より条件は $a^{2} \leq \frac{5}{3}$ 、すなわち $- 15 /3 \leq a \leq 15 /3$ 。最大値は $a = \frac{15}{3}$ 。

検算: $a^{2} = 5/3$ のとき $det H (0) = 40 - 40 = 0$ で半正定値（境界）であり、 $a^{2} \leq 5/3 < 2$ なので 2 次主小行列式も条件を満たす。 $a$ がこれを超えると $det H (0) < 0$ となり凸でなくなる。

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