最適化・線形計画法の問題

$f$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上で何回でも偏微分できる関数です。凸集合 ${\mathbb{R}}^2$ 上では、「$f$ が凸関数である」ことと「すべての点でヘッセ行列 ${\nabla }^{2}f$ が半正定値である」ことは同値です。この判定法を使います。

手順 1：1 階偏導関数を求める。
$$f_x=6x+2ay+1,f_y=2ax+24y-1.$$

手順 2：2 階偏導関数を求め、ヘッセ行列を作る。
$$f_{xx}=6,f_{xy}=f_{yx}=2a,f_{yy}=24$$
より
$${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6& 2a\\ 2a& 24\end{array}\right).$$
これは $(x,y)$ によらない定数行列です。したがって、この 1 つの行列が半正定値かどうかを調べればよいことになります。

手順 3：主小行列式で半正定値性を判定する。
$2$ 次の実対称行列が半正定値であるための必要十分条件は、すべての主小行列式が $0$ 以上であること、すなわち
$$f_{xx}\ge 0,f_{yy}\ge 0,\det {\nabla }^{2}f\ge 0$$
がすべて成り立つことです。
- $f_{xx}=6\ge 0$、$f_{yy}=24\ge 0$ は $a$ によらず成り立ちます。
- 行列式は
$$\det {\nabla }^{2}f=6\cdot 24-(2a{)}^2=144-4a^2$$
です。

よって条件は $144-4a^2\ge 0$ だけになります。両辺を $4$ で割ると $a^2\le 36$ となり、これを解いて
$$-6\le a\le 6.$$

手順 4：結論。
$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 全体で凸関数となるのは $-6\le a\le 6$ のときです。したがって $a$ の最大値は $6$ です。

（確認：$a=6$ のとき、固有方程式 ${\lambda }^2-30\lambda +0=0$ から固有値は $0$ と $30$ で、どちらも $0$ 以上なので半正定値です。$a>6$ のときは行列式が負になります。このとき固有値の積が負なので負の固有値が存在し、半正定値ではありません。）

$f$ のヘッセ行列は $H=\left(\begin{array}{cc}6& 2a\\ 2a& 24\end{array}\right)$ で、$x,y$ によらず一定である。$f$ が $C^2$ 級なので、${\mathbb{R}}^2$ 上で凸であることと $H$ が半正定値であることは同値である。

$H$ が半正定値となる条件は、対角成分が $6>0$, $24>0$ であることと $\det H\ge 0$ である。
$\det H=144-4a^2\ge 0$ より $a^2\le 36$、すなわち $-6\le a\le 6$。

よって $a$ の最大値は $6$ である。

検算: $a=6$ のとき二次部分は $3x^2+12xy+12y^2=3(x+2y{)}^2\ge 0$ なので凸である。$a>6$ のとき、例えば $a=7$ では $x=-2,y=1$ とすると $3\cdot 4-28\cdot ...$ ではなく、直接 $3x^2+14xy+12y^2$ に $(x,y)=(-1,1)$ を代入すると $3-14+12=1>0$、$(x,y)=(-2,1)$ を代入すると $12-28+12=-4<0$ となる。よって二次部分が負になる方向があり凸でない。