最適化・線形計画法の問題

方針 1 変数関数 $f$ が 2 回微分可能なとき、$f$ が区間 $I$ で凸関数であることと、$I$ 上のすべての $x$ で $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ であることは同値である。これを使って判定する。

第 2 次導関数を求める
$$f^{\prime }(x)=4x^3+3a{x}^2+12x,f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6ax+12.$$

凸である条件 $f$ が $\mathbb{R}$ 全体で凸であるための条件は、すべての実数 $x$ に対して
$$12x^2+6ax+12\ge 0$$
が成り立つことである。両辺を $6$ で割ると $2x^2+ax+2\ge 0$。$x^2$ の係数 $2$ は正なので、これがすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、判別式 $D$ について $D\le 0$ となることである。
$$D=a^2-4\cdot 2\cdot 2=a^2-16\le 0$$
より $(a+4)(a-4)\le 0$、すなわち $-4\le a\le 4$。

確認 $a=4$ のとき $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+24x+12=12(x+1{)}^2\ge 0$ がすべての $x$ で成り立つので、$f$ は確かに凸である。一方 $a>4$ では $D>0$ となり、$f^{\prime \prime }(x)<0$ となる $x$ が存在するので凸ではない。

よって求める最大値は $a=4$ である。

$f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6ax+12$ である。$f$ が $\mathbb{R}$ 上で凸であることは、すべての実数 $x$ で $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ であることと同値である。

$12x^2+6ax+12\ge 0$ は $2x^2+ax+2\ge 0$ と同値である。下に凸の放物線なので、判別式 $D=a^2-16\le 0$ であればよい。よって $-4\le a\le 4$ となる。

$a$ の最大値は $4$ である。

検算: $a=4$ のとき $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+24x+12=12(x+1{)}^2\ge 0$ で、凸性が成り立つ。$a>4$ のとき、$x=-a/4$ で $2x^2+ax+2=2-a^2/8<0$ となり、凸でない。