最適化・線形計画法の問題

$f$ は $C^2$ 級なので、「$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で凸 $⟺$ すべての点でヘッセ行列が半正定値」を使う。

ヘッセ行列 偏導関数は
$$f_x=e^x+2ax+4y,f_y=4x+4y,$$
$$f_{xx}=e^x+2a,f_{xy}=4,f_{yy}=4$$
なので
$$H(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x+2a& 4\\ 4& 4\end{array}\right).$$

半正定値の条件 $2\times 2$ の対称行列が半正定値であるための必要十分条件は、対角成分がともに $0$ 以上で、行列式が $0$ 以上であることである。$f_{yy}=4>0$ なので、条件は
$$e^x+2a\ge 0,\det H=4(e^x+2a)-16\ge 0$$
である。第 2 式は $e^x+2a\ge 4$ と同値で、これが成り立てば第 1 式も成り立つ。よって $f$ が凸であるための条件は
$$\text{すべての実数 }x\text{ について }{e}^x+2a\ge 4$$
である。

$a$ の条件 $e^x$ は $x\to -\infty$ で $0$ に近づき、$e^x>0$ なので、$e^x$ の下限は $0$ である（最小値はない）。
- $a\ge 2$ のとき: $e^x+2a>2a\ge 4$ なので、すべての $x$ で条件が成り立つ。
- $a<2$ のとき: $4-2a>0$ なので、$e^x<4-2a$ となる $x$（たとえば $x=\log (4-2a)-1$）がとれ、その点では $\det H<0$ となり $H$ は半正定値でない。よって $f$ は凸でない。

したがって $f$ が凸となる条件は $a\ge 2$ であり、$a$ の最小値は $2$ である。

$f$ は $C^2$ 級なので、凸であることはヘッセ行列がすべての点で半正定値であることと同値。
$f_{xx}=e^x+2a,f_{xy}=4,f_{yy}=4$ より $H=\left(\begin{array}{cc}{e}^x+2a& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$。

$2\times 2$ 対称行列が半正定値 $⟺$ 対角成分 $\ge 0$ かつ行列式 $\ge 0$。$f_{yy}=4>0$ は常に成立。行列式は $4(e^x+2a)-16=4(e^x+2a-4)$。したがって条件は、すべての実数 $x$ で $e^x+2a-4\ge 0$、すなわち $2a-4\ge -e^x$ がすべての $x$ で成り立つこと。$e^x$ は $x\to -\infty$ で 0 に近づくが 0 にはならない（下限 0 は取られない）ので、必要十分条件は $2a-4\ge 0$、$a\ge 2$。このとき $f_{xx}=e^x+2a\ge e^x+4>0$ も成立する。

検算: $a=2$ のとき行列式 $=4e^x>0$ で正定値、凸。$a<2$ なら $x$ を十分小さくとると $e^x+2a-4<0$ となり行列式が負で凸でない。よって最小値は $a=2$。