最適化・線形計画法の問題

方針 $f$ は $C^2$ 級なので、凸集合 ${\mathbb{R}}^2$ 上で $f$ が凸関数であることと、すべての点 $(x,y)$ でヘッセ行列 ${\nabla }^{2}f(x,y)$ が半正定値であることは同値である。そこで、ヘッセ行列を求めて半正定値になる条件を調べる。

1. 偏導関数を求める
$$f_x=4x^3+6x+2ay,f_y=2ax+2y$$
$$f_{xx}=12x^2+6,f_{xy}=f_{yx}=2a,f_{yy}=2$$
よって
$${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}12x^2+6& 2a\\ 2a& 2\end{array}\right)$$

2. 半正定値の条件（主小行列式）
2 次の実対称行列 $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$ が半正定値であるための必要十分条件は $p\ge 0,r\ge 0,pr-q^2\ge 0$ である。

対角成分は $12x^2+6>0$、$2>0$ で、つねに正である。行列式は
$$\det {\nabla }^{2}f(x,y)=(12x^2+6)\cdot 2-(2a{)}^2=24x^2+12-4a^2$$

3. すべての点で成り立つ条件
$24x^2+12-4a^2\ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立てばよい。左辺は $x=0$ で最小値 $12-4a^2$ をとるから、条件は
$$12-4a^2\ge 0⟺a^2\le 3⟺-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$$
（逆に $a^2>3$ なら $x=0$ の近くで行列式が負になり、ヘッセ行列は半正定値でないので $f$ は凸でない。）

したがって、求める $a$ の最大値は $\sqrt{3}$ である。

$f$ は $C^2$ 級なので、凸であることとヘッセ行列が全点で半正定値であることは同値。

偏導関数：$f_x=4x^3+6x+2ay$、$f_y=2ax+2y$。

ヘッセ行列：$f_{xx}=12x^2+6$、$f_{xy}=2a$、$f_{yy}=2$。

$H=\left(\begin{array}{cc}12x^2+6& 2a\\ 2a& 2\end{array}\right)$

$f_{yy}=2>0$ なので、半正定値であるための条件は $\det H\ge 0$、すなわち
$$2(12x^2+6)-4a^2\ge 0⟺24x^2+12\ge 4a^2⟺a^2\le 6x^2+3.$$

これがすべての $x$ で成り立つ条件は、$x=0$ で最小となることから $a^2\le 3$、すなわち $-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$。

よって $a$ の最大値は $\sqrt{3}$。

確認：$a=\sqrt{3}$ のとき $\det H=24x^2+12-12=24x^2\ge 0$ で、$H$ は半正定値。$a$ が $\sqrt{3}$ を超えると、$x=0$ で $\det H=12-4a^2<0$ となり凸でなくなる。