最適化・線形計画法の問題

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^2$ 級関数は、すべての点でヘッセ行列が半正定値であるとき、かつそのときに限り凸関数である。

$f$ の 2 階偏導関数は
$$f_{xx}=10,f_{xy}=f_{yx}=4,f_{yy}=4$$
なので、ヘッセ行列は点によらず
$$H=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$$
である（1 次の項 $-3x+y$ はヘッセ行列に影響しない）。

$H$ の固有値 $\lambda$ は
$$\det (H-\lambda E)=(10-\lambda )(4-\lambda )-16={\lambda }^2-14\lambda +24=(\lambda -2)(\lambda -12)=0$$
より $\lambda =2,12$。

$m_0$ について. $g_m$ のヘッセ行列は $H-mE$ で、その固有値は $2-m,12-m$。対称行列が半正定値であることと固有値がすべて $0$ 以上であることは同値なので、$g_m$ が凸 $⟺2-m\ge 0$ かつ $12-m\ge 0⟺m\le 2$。よって $m_0=2$。

$L_0$ について. $h_L$ のヘッセ行列は $LE-H$ で、その固有値は $L-2,L-12$。$h_L$ が凸 $⟺L-2\ge 0$ かつ $L-12\ge 0⟺L\ge 12$。よって $L_0=12$。

したがって $(m_0,L_0)=(2,12)$ である。（$m_0,L_0$ はそれぞれ $H$ の最小固有値・最大固有値に一致する。）

$f$ のヘッセ行列は定数行列 $H=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$。$g_m$ のヘッセ行列は $H-mI$、$h_L$ のヘッセ行列は $LI-H$。

$H$ の固有値: 特性方程式 ${\lambda }^2-14\lambda +24=0$（トレース 14、行列式 $40-16=24$）より $(\lambda -2)(\lambda -12)=0$、$\lambda =2,12$。

$g_m$ が凸 $⟺H-mI⪰0⟺m\le {\lambda }_{\min }=2$ なので $m_0=2$。$h_L$ が凸 $⟺LI-H⪰0⟺L\ge {\lambda }_{\max }=12$ なので $L_0=12$。

検算: $m=2$ のとき $H-2I=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$ は行列式 $16-16=0$、トレース 10 で半正定値。$L=12$ のとき $12I-H=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 8\end{array}\right)$ は行列式 $16-16=0$、トレース 10 で半正定値。答えは $(2,12)$。