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最適化・線形計画法の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学最適化・線形計画法

$k$ を正の実数の定数とし、 $R^{2}$ 上の関数
$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - k lo g (e^{x} + e^{y})$
を考える。 $f$ が $R^{2}$ 全体で凸関数となるような $k$ の最大値を $K$ とする。 $K$ と、 $k = K$ のときの $f$ の $R^{2}$ 上での最小値を、この順に組 $(K, 最小値)$ で求めよ。

この問題で使うもの

偏微分と全微分（説明と入口の問題）
ヘッセ行列による凸性の判定（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
2 変数関数の極値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（76 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f$ のヘッセ行列を求め、すべての点で半正定値になる条件を調べましょう。 $lo g (e^{x} + e^{y})$ の 2 階偏導関数は $p = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{y}}$ 、 $q = 1 - p$ を使うときれいに書けます。

ヒント 2

ヘッセ行列は $(a b b a)$ の形なので、固有値は $a + b$ と $a - b$ です。 $pq \leq \frac{1}{4}$ を使いましょう。最小値は、凸関数の停留点が大域的最小点になることを使って求めます。

ヒント 3

固有値は $3$ と $1 - 2 k pq$ です。 $k = 2$ のとき、停留点の条件から $x + y = \frac{2}{3}$ と $x - y = 2 tanh \frac{x - y}{2}$ が得られます。

答えと解説

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(2, - \frac{1}{3} - 2 lo g 2)

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解説を読む

ヘッセ行列の計算。
$L (x, y) = lo g (e^{x} + e^{y})$ とおき、
$p = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{y}}, q = \frac{e ^{y}}{e ^{x} + e ^{y}} (p + q = 1, p, q > 0)$
とする。 $L_{x} = p, L_{y} = q$ である。 $p_{x} = pq, p_{y} = - pq$ 、 $q_{y} = pq$ なので
$L_{xx} = pq, L_{x y} = - pq, L_{y y} = pq$
となる。したがって $f$ のヘッセ行列は
$H = (2 - k pq 1 + k pq 1 + k pq 2 - k pq)$
である。

凸性の判定。
$H$ は $(a b b a)$ の形なので、固有ベクトルは $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ である。固有値はそれぞれ $a + b$ と $a - b$ で、
$λ_{1} = (2 - k pq) + (1 + k pq) = 3, λ_{2} = (2 - k pq) - (1 + k pq) = 1 - 2 k pq$
となる。

$f$ は $C^{2}$ 級なので、 $f$ が $R^{2}$ で凸であることと、すべての点で $H$ が半正定値であることは同値である。 $λ_{1} = 3 > 0$ なので、条件は「すべての $(x, y)$ で $1 - 2 k pq \geq 0$ 」となる。

$p + q = 1$ より、相加相乗平均の不等式から $pq \leq \frac{1}{4}$ である。等号は $p = q$ 、すなわち $x = y$ のときに成り立つ。よって $pq$ の最大値は $\frac{1}{4}$ であり、条件は
$1 - \frac{k}{2} \geq 0 ⟺ k \leq 2$
となる。 $k > 2$ のときは、 $x = y$ の点で $λ_{2} < 0$ となり凸でない。したがって $K = 2$ である。

$k = 2$ のときの最小値。
勾配は
$f_{x} = 2 x + y - 2 p, f_{y} = x + 2 y - 2 q$
である。 $f_{x} = f_{y} = 0$ とする。

2 式を足すと、 $p + q = 1$ より $3 (x + y) - 2 = 0$ なので、 $x + y = \frac{2}{3}$ である。

2 式を引くと $(x - y) - 2 (p - q) = 0$ である。ここで
$p - q = \frac{e ^{x} - e ^{y}}{e ^{x} + e ^{y}} = tanh \frac{x - y}{2}$
なので、 $s = \frac{x - y}{2}$ とおくと $2 s - 2 tanh s = 0$ 、すなわち $s = tanh s$ となる。

$h (s) = s - tanh s$ とおくと $h^{'} (s) = 1 - \frac{1}{c o s h ^{2} s} = tanh^{2} s \geq 0$ であり、等号は $s = 0$ のときだけである。よって $h$ は狭義単調増加で、 $h (0) = 0$ だから解は $s = 0$ のみである。

したがって停留点は $x = y = \frac{1}{3}$ のただ 1 つである。

この点では $pq = \frac{1}{4}$ なので $λ_{2} = 0$ となり、ヘッセ行列による 2 次の判定は使えない。しかし $k = 2$ のとき $f$ は凸関数である。微分可能な凸関数の停留点は大域的最小点なので、最小値は $f (\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ である。
$f (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - 2 lo g (2 e^{1/3}) = \frac{1}{3} - 2 lo g 2 - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3} - 2 lo g 2$

以上より、答えは $(2, - \frac{1}{3} - 2 lo g 2)$ である。

別解

$x^{2} + x y + y^{2}$ のヘッセ行列は $(2112)$ で、固有値は、 $(1, 1)$ 方向が 3、 $(1, - 1)$ 方向が 1 である。

$g = lo g (e^{x} + e^{y})$ について、 $p = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{y}}$ とおくと、ヘッセ行列は $p (1 - p) (1 - 1 - 1 1)$ である。

よって $f$ のヘッセ行列は $(2112) - k p (1 - p) (1 - 1 - 1 1)$ となる。

2 つの行列は固有ベクトル $(1, 1)$ , $(1, - 1)$ を共有する。固有値は次のとおり。
- $(1, 1)$ 方向: $3$
- $(1, - 1)$ 方向: $1 - 2 k p (1 - p)$

$f$ が凸であるための条件は、すべての $p \in (0, 1)$ で $1 - 2 k p (1 - p) \geq 0$ となることである。 $p (1 - p)$ の上限は $1/4$ （ $p = 1/2$ のとき）なので、条件は $1 - k /2 \geq 0$ 、すなわち $k \leq 2$ となる。したがって $K = 2$ 。

$k = 2$ のとき、 $f$ は凸なので停留点が大域的最小点になる。

停留条件は $2 x + y = 2 p$ , $2 y + x = 2 (1 - p)$ である。
- 2 式の和から $3 (x + y) = 2$ より $x + y = 2/3$ 。
- 2 式の差から $x - y = 4 p - 2$ 。ここで $p = \frac{1}{1 + e ^{- (x - y)}}$ なので、 $d = x - y$ とおくと $d = 2 tanh (d /2)$ となる。

$u = d /2$ とおくと $u = tanh u$ であり、これを満たすのは $u = 0$ のみ。よって $d = 0$ で、 $x = y = 1/3$ 。

最小値は
$f = 3 \cdot \frac{1}{9} - 2 lo g (2 e^{1/3}) = \frac{1}{3} - 2 lo g 2 - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3} - 2 lo g 2$ 。

検算: 停留条件 $2 x + y = 1 = 2 p$ は $p = 1/2$ と一致する。

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