最適化・線形計画法の問題

使う判定法　区間で 2 回微分可能な 1 変数関数 $f$ について、「$f$ がその区間で凸関数である」ことと「その区間のすべての $x$ で $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ である」ことは同値である。$f(x)=x^4-4x^3+a{x}^2$ は多項式なので何回でも微分でき、この判定法が使える。

ステップ 1：第 2 次導関数を求める。
$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+2ax,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+2a.$$

ステップ 2：$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件を求める。
平方完成すると
$$f^{\prime \prime }(x)=12(x^2-2x)+2a=12(x-1{)}^2-12+2a.$$
$12(x-1{)}^2\ge 0$ で、等号は $x=1$ のときに成り立つから、$f^{\prime \prime }(x)$ の最小値は $f^{\prime \prime }(1)=2a-12$ である。したがって
$$\text{すべての }x\text{ で }{f}^{\prime \prime }(x)\ge 0⟺2a-12\ge 0⟺a\ge 6.$$

ステップ 3：結論。
- $a=6$ のとき $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2\ge 0$ なので、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の凸関数である。
- $a<6$ のとき $f^{\prime \prime }(1)=2a-12<0$ である。$f^{\prime \prime }$ は連続なので、$x=1$ を含むある区間で $f^{\prime \prime }(x)<0$ となる。その区間では $f$ は上に凸であり、例えば $p=1-h,q=1+h$（$h>0$ は小さい）、$\lambda =\frac{1}{2}$ とすると $f(1)>\frac{f(1-h)+f(1+h)}{2}$ となって、定義の不等式が成り立たない。

よって、求める $a$ の最小値は $6$ である。

$f$ は二回微分可能なので、$\mathbb{R}$ 上で凸であることは $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つことと同値である。

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+2ax$、$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+2a$。

$f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2-12+2a$ であり、最小値は $x=1$ のとき $2a-12$ である。

よって $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ がすべての $x$ で成り立つ条件は $2a-12\ge 0$、すなわち $a\ge 6$。

最小値は $a=6$ である。

検算: $a=6$ のとき $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2\ge 0$ となり、凸である。$a<6$ のとき $f^{\prime \prime }(1)=2a-12<0$ なので、$x=1$ の近くで $f^{\prime \prime }<0$ となり凸でない。したがって最小値は $6$ である。