最適化・線形計画法の問題

方針 $f$ は何回でも微分できる 1 変数関数なので、「区間で $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ ならその区間で凸、区間の内部のどこかで $f^{\prime \prime }(x)<0$ となる部分があれば凸でない」という判定法を使う。

第 2 次導関数を求める
$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+1,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2).$$

$f^{\prime \prime }(x)$ の符号を調べる
$12x(x-2)$ は 2 次関数で、$x=0,2$ で 0 になり、その外側で正、間で負になる。よって
$$f^{\prime \prime }(x)\ge 0⟺x\le 0\text{または}x\ge 2,f^{\prime \prime }(x)<0⟺0<x<2.$$

区間 $[c,\infty )$ で凸になる条件
- $c=2$ のとき：区間 $[2,\infty )$ 上で $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ なので、$f$ はこの区間で凸である。$c>2$ でも同様に凸である。
- $c<2$ のとき：区間 $[c,\infty )$ は、$0<x<2$ の部分を含む小さな区間（たとえば $\max (c,0)<x<2$）を含む。そこでは $f^{\prime \prime }(x)<0$ なので $f$ は上に凸（グラフが弦より上にある）となり、その区間内の $p\ne q$ と $0<\lambda <1$ に対して
$$f(\lambda p+(1-\lambda )q)>\lambda f(p)+(1-\lambda )f(q)$$
となって定義の不等式が成り立たない。よって凸ではない。

以上より、求める $c$ の最小値は $2$ である。

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+1$、$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$。$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ となるのは $x\le 0$ または $x\ge 2$ のときである。区間 $[c,\infty )$ 上で $f$ が凸であることは、この区間で $f^{\prime \prime }\ge 0$ であることと同値である（$f$ は2回微分可能）。$c<2$ とすると、$c<x<2$ かつ $x>0$ を満たす $x$、たとえば $\max (c,0)<x<2$ では $f^{\prime \prime }(x)<0$ となり、凸にならない。$c=2$ のときは $[2,\infty )$ 上で $f^{\prime \prime }\ge 0$ なので凸である。よって最小値は $c=2$。
検算：$x=1$ で $f^{\prime \prime }=-12<0$ であり、$c=1$ では凸でない。$x=3$ で $f^{\prime \prime }=36>0$ である。